Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 9Следующая ⇒

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R=={O, (е₁, е₂, е₃)} заданы две плоскости своими общими уравнениями:

a₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

a₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0 (2)

Чтобы исследовать их взаимное расположение достаточно рассмотреть их пересечение. Объеденим уравнения (1), (2):

a₁Ç a₂: (3)

Исследуем систему(3). Составим определители:

(4)

Рассмотрим три возможных случая:

1. . Пусть .

Тогда (3) перепишем (5).

Так как , то (5) разрешимо относительно y, z. Придавая x конкретные значения и вычисляя y и z из (5), мы получим точку общую для плоскостей a₁иa₂. Следовательно, плоскости пересекаются по прямой l.

Условие имеет место тогда и только тогда, когда соответствующие значения при неизвестных в (1) и (2) не пропорциональны, т.е.

Пример. Определить взаимное расположение плоскостей

a₁: x+2y+3z+1=0

a₂: 2x-y+5z+6=0

Так как , то a₁Ç a₂=l плоскости пересекаются по прямой l.

2. Пусть ( ). В этом случае система (3) не имеет решения, т.е. плоскости a₁иa₂не имеют точек пересечения. Тогда они параллельны.

3. Пусть Þ Þ a₁: l( A₂x+B₂y+C₂z+D₂ )=0. Поделим на l. Получим a₁: A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0. То есть плоскости a₁иa₂ совпадают(a₁=a₂).

Замечание.

Рассмотрим матрицы системы (3) A= , составленную из коэффициентов при нейзвестных, и расширенную матрицу B= .

Если строчки матрицы А не пропорциональны, то будем говорить, что она имеет ранг 2, иначе 1. Тоже и для матрицы В.

Тогда из решенной задачи следует, что две плоскости пересекаются, тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы В, (причём, если ранг равен 2, то пересекаются, если ранг равен 1, то плоскости совпадают). Если ранги матриц А и В не равны, то плоскости параллельны.

Различные способы задания прямой.

Прямая в пространстве может быть задана одним из следующих способов:

1) точкой и направляющим вектором:

ï M₀Î , ï ê , a≠ θ

2) двумя точками, лежащими на прямой

ï M₁, М₂Î , М₁≠ М₂

3) пересечением плоскостей

Выберем аффинную систему координат R={O, (е₁, е₂, е₃)}и составим уравнения прямой по различным её зданиям.

1) Пусть прямая задана точкой М₀(x₀, y₀, z₀)Î , вектором (a₁, a₂, a₃) ï ê и точка М(x, y, z) – произвольная точка прямой . Тогда

={Mï ï ê }={Mï =t , где t -любое действительное число}

Из полученного векторного уравнения, учитывая что (x-x₀, y-y₀, z-z₀),

t (a₁t, a₂t, a₃t),

получаем : < => , - < t< . (1)

(1) – параметрические уравнения прямой.

Исключая из (1) параметр t, перепишем систему (1)

Приравняем равенства полученной системы и получим

(2)

(2) – каноническое уравнение прямой.

2) Пусть М₁(x₁, y₁, z₁)Î , М₂(x₂, y₂, z₂)Î , причём М₁≠ М₂, тогда полагая М₀= М₁ и беря в качестве = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), получим

(3)

(3) – уравнение прямой, проходящей через две точки.

3) Пусть и каждая из плоскостей задана общим уравнением, тогда (4)

(4) задаёт прямую, если , где .

(4) – общее уравнение прямой.

Пусть задана уравнением (5). Покажем, как найти её параметрические уравнения.

Предположим (x₀, y₀, z₀) – какое-нибудь частное решение (4), тогда М₀(x₀, y₀, z₀)Î . Рассмотрим сначала случай, когда прямая задана общим уравнением в декартовой системе координат. В этом случае ^α ₁, ^α ₂, тогда вектор =[ ]= ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ параллелен прямой и является её направляющим вектором. Тогда .