Полярная система координат. Переход от полярной системы к декартовой и обратно.

 

Аффинные системы координат, задаваемые на плоскости аффинным репером являются удобным, но не единственным способом задания точки на плоскости упорядоченной парой действительных чисел. Другой такой системой является так называемая полярная система координат, которая на плоскости определяется следующей фигурой. Берётся фиксированная точка О – полюс и луч ОР(полярная ось), на котором задан единичный вектор е.

Относительно полярной системы координат положение любой точки М можно определить следующими двумя числами: ρ =ОМ – полярный радиус(ρ ≥ 0), φ =ﮮ РОМ – полярный аргумент(0≤ φ ≤ 2 или - ≤ φ ≤ ).

Упорядоченная пара чисел (ρ, φ ) – полярные координаты точки М.

Переход от полярной системы к декартовой.

 

x

y

 

Построим точку М₁=ОР∩ ММ₁ ОР. Из треугольника ОМ₁М =>

Решая систему относительно ρ, φ получим

x²+y²=ρ ²(cos²φ +sin²φ )

Тогда

 

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

 

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

 

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

 

 

Уравнение прямой на плоскости.

 

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

 

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

 

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

 

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

 

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 

 

 

если х₁ ¹ х₂ и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

 

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

 

Применяя записанную выше формулу, получаем:

 

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

 

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

 

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

 

 

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

 

Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

 

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

 

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

 

1× A + (-1)× B = 0, т.е. А = В.

 

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

 

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

 

х + у - 3 = 0

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
2. I. Переход к «большому скачку» в 1958 г.
3. I. Переход к «культурной революции» и устремления ее участников
4. I. ПОЧЕМУ СИСТЕМА МАКАРЕНКО НЕ РЕАЛИЗУЕТСЯ
5. I. Предпосылки перехода к радикальным реформам
6. I. РАЗВИТИИ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯЗЫКА У ДЕТЕЙ С ОБЩИМ НЕДОРАЗВИТИЕМ РЕЧИ
7. II. О ФИЛОСОФСКОМ АНАЛИЗЕ СИСТЕМЫ МАКАРЕНКО
8. II. Система обязательств позднейшего права
9. II. Соотношение — вначале самопроизвольное, затем систематическое — между положительным мышлением и всеобщим здравым смыслом
10. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
11. VI. ОБСЛЕДОВАНИЕ БОЛЬНОГО ПО ОРГАНАМ И СИСТЕМАМ
12. VIII. Общение и система взаимоотношений