Матрица линейного оператора.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 9Следующая ⇒

Пусть дан базис В={e₁, е₂, …, е_n} и даны образы векторов базиса е₁j, е₂j, …, е_nj, которые выражаются через базис следующим образом

е₁j=a₁₁e₁+a₁₂e₂+…+a_1ne_n ,

е₂j=a₂₁e₁+a₂₂e₂+…+a_2ne_n ,

-----------------------------------,

е_nj=a_n₁e₁+a_n₂e₂+…+a_nne_n.

Запишем основную матрицу данной системы А=

В базисе В линейный оператор j однозначно задается матрицей А, обратное тоже верно. Любая матрица n-го порядка является матрицей некоторого линейного оператора пространства R_n с базисом В.

Примеры линейных операторов:

1) j -проектирование векторов трехмерного пространства на плоскость XOY. е₁j=е₁, е₂j=е₂, е₃j=q, то есть А= ;

2) j - поворот в плоскости XOY на угол a.

е₁j=е₁cosa+e₂sina, е₂j=-е₁sina+e₂cosa, A= .

Задача: известна матрица А линейного оператора j и координаты вектора х в базисе В.

Найти координаты вектора х^/=хj.

Решение: Известно, что А=(a_ij), х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_nе_n. Тогда х^/=хj= =(х₁е₁+х₂е₂+…+х_nе_n₎j= х₁е₁j+х₂е₂j+…+х_nе_nj= х₁(a₁₁e₁+a₁₂e₂+…+a_1ne_n)+ +х₂(a₂₁e₁+a₂₂e₂+…+a_2ne_n) +…+х_n( a_n1e₁+a_n2e₂+…+a_nne_n)=(х₁a₁₁+х₂a₂₁+…+х_na_n1)e₁+

+(x₁a₁₂+x₂a₂₂+…+x_na_n2)e₂+…+(x₁a_1n+x₂a_2n+…+x_na_nn).

Чтобы найти координатную строку нового вектора хj надо координатную строку вектора х умножить на матрицу линейного оператора А, то есть [xj]=[x]j или [xj]=[x]А.

Теорема3. Если линейный оператор j пространства R_n задаётся в базисе В={e₁, е₂, …, е_n} матрицей А_j, то в базисе В^/={e ^/₁, е^/₂, …, е^/_n} он задаётся матрицей В_j=

=Т А_jТ^-1, где Т - матрица перехода от базиса В к базису В^/.

Доказательство: Пусть [x] и [x^/] - координатные строки в базисе Ви В^/соответственно. Образ вектора х: [xj]=[x] А_j, [x]=[x^/]Т Þ [xj]=[x^/]Т А_j. (1).

Образ вектора хj: [xj]^/=[x^/] В_j, [xj]=[xj]^/T Þ [xj]=[ x^/] В_jT (2).

Из (1) и (2) следует [x^/]Т А_j.=[ x^/] В_jT , тогда Т А_j.=В_jT. Отсюда В_j=Т А_jТ^-1.

Возникает вопрос, что представляет собой матрица перехода от базиса Вк базису В^/ с точки зрения линейных операторов?

Строками матрицы оператора j в базисе В являются координатные строки образов базисных векторов. Но координатные строки образов e ^/₁, е^/₂, …, е^/_n в базисе В являются одновременно и строками матрицы Т. Таким образом матрица Т является матрицей оператора j, переводящего В в В^/, которая вычислена в базисе В. Но Т является и матрицей оператора j в В^/. В самом деле матрицей оператора j в В является Т, матрицей перехода от В к В^/ также является Т. Поэтому матрицей оператора j в базисеВ^/ является ТТ^-1Т=Т (согласно теореме 3).

Пусть U_n и V_m– линейные пространства с базисами (u₁, u₂, …, u_n), (v_1,v₂, …, v_m) соответственно, –линейный оператор. Тогда

1. j инъективен тогда и только тогда, когда ранг матрицы линейного оператора равен числу столбцов.

2. j сюрьективен тогда и только тогда, когда ранг матрицы линейного оператора больше либо равен числу строк.

3. j биективен тогда и только тогда, когда матрица линейного оператора невырождена.

Пусть – линейный оператор. Его ядром будем называть множество . Обозначается = .

Если линейный оператор задается матрицей A_j в базисах u, v, то в базисах f, g он задается матрицей , где S матрица перехода от базиса u к базису f, а T матрица перехода от базиса v к базису g. Заметим, что матрица является матрицей перехода от базиса f к базису u.

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.

Характеристическое уравнение линейного оператора.

Определение. Вектор а¹ q и такой что аj=l₀а называется собственным вектором для оператора j, l₀ называется собственным значением для j.

Теорема1. Собственные векторы а₁, а₂, …, а_n линейного оператора j, которым соответствуют различные собственные значения l₁, l₂, …, l_n образуют линейно независимую систему векторов.

Определение. Матрица вида А-lЕ= называется характеристической матрицей для оператора j.

Определитель / А-lЕ /- это многочлен степени n относительно l.

Уравнение / А-lЕ /=0 - называется характеристическим для оператора j.

Теорема2. Для того, чтобы число l₀ из поля Р было собственным значением оператора j , необходимо и достаточно, чтобы оно было характеристическим корнем этого оператора.

Аналитическая геометрия.

Афинная система координат на плоскости.

Определение.

Системой координат на плоскости называется фигура, относительно которой положение любой точки на плоскости можно задать упорядоченной парой чисел.

Пусть Б=(е₁, е₂) - базис в пространстве и О - фиксированная точка в пространстве.

Определение.

Фигура R, состоящая из точки О и отложенных от нее векторов базиса называется афинным репером.

R={O, (е₁, е₂)}.

Теорема . Любой афинный репер на плоскости задаёт систему координат.

Доказательство.

Пусть на плоскости задан R={O, (е₁, е₂)}.

Вектор, начало которого совпадают с точкой О, а конец с точкой М, назовём радиус-вектором точки М.

Очевидно, что между множеством точек плоскости и множеством радиус-векторов этих точек устанавливается взаимнооднозначное соответствие. И обратно, каждый радиус вектор имеет единственный конец, который определит положение точки на плоскости.

M < => r = ОМ

Построим т.М₁=ОЕ₁∩ ММ₁‌ ‌ ‌ ‌ ║ е₂ и М₂₌ ОЕ₂∩ ММ₂║ е₁.

Тогда так как ОМ₁║ е₁

Но r = ОМ=xe₁+ye₂ однозначно определяется в пространстве своими координатами, которые определяют его разложение по базису. Тогда согласно сказанному пара чисел x, y однозначно определит положение точки М на плоскости, то есть R=={O, (е₁, е₂)}- действительно задаёт систему координат.

Определение.

Система координат определённая афинным репером, называется афинной системой координат. Если базис Б нормирован, то систему называют декартовой, если он ортогонален - прямоугольной, а если ортонормирован, то декартовой прямоугольной системой координат.

Определение.

Аффинными координатами точки М в пространстве называются координаты её радиус-вектора, то есть М(x, y).

Прямые, определённые точкой О(начало координат) и базисными векторами называются осями и имеют специальные названия оx - ось абцисс, oy - ось ординат.

Рассмотрим основные задачи на метод координат:

Задача1.

Задана точка относительно аффинной системы координат, найти координаты точки.

М₁=Оx∩ ММ₁‌ ‌ ‌ ‌ ║ е₂, М₂₌ Оx∩ ММ₂║ е₁

ОМ₁║ е_{1=> НАЙДЕТСЯ}_X_{, ТАКОЕ ЧТО}ОМ₁=xе_1,

ОМ₂║ е_{2=> НАЙДЕТСЯ}_X_{, ТАКОЕ ЧТО}ОМ₂=yе_2,

ОМ₌ ОМ₁₊ ОМ₂= xе₁₊ yе₂=> М(x, y)

Задача 2.(обратная)

Относительно аффинной системы координат задана точка скоординатами (x, y). Построить точку.

Строим ОМ₁=xе₁и ОМ₂=yе_2,потом ОМ₌ ОМ₁₊ ОМ₂(по правилу параллелограмма). Точка М – конец вектора ОМ.

Задача 3.

Нахождение координат вектора по координатам его концов.

По правилу треугольника следует ОМ₁+ М₁М₂= ОМ₂ => М₁М₂= ОМ₂ - ОМ₁.

По условию М₁(x₁, y₁)=> ОМ₁(x₁, y₁)

М₂(x₂, y₂)=> ОМ₂(x₂, y₂)

M₁M₂(x₂-x₁, y₂-y₁)

Правило: чтобы найти координаты вектора по координатам его концов достаточно из координат конца вектора вычисть одноименные координаты его начала.

Задача 4.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками обозначим ρ (М₁, М₂). Заметим, что ρ (М₁, М₂) - это длина вектора M₁M₂(x₂-x₁, y₂-y₁)=> ρ (М₁, М₂)= .

Расстояние между двумя точками, заданными своими координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат, равно корню квадратному из суммы квадратов разности одноименных координат.

Пусть M₁, M₂, M – три точки, лежащие на одной прямой, М≠ M₂.

Простым отношением трёх точек (M₁M₂, M) называется число λ, такое что M₁М=λ М M₂.

Задача 5.

Деление отрезка в данном отношении.

Известно: М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂) и λ =(M₁M₂, M), λ ≠ -1. Найдём координаты точки М(x, y).

M₁M (x-x₁, y-y₁), λ MM₂(λ (x₂-x₎, λ (y₂-y₎) и M₁М=λ М M₂=>

Если М – середина отрезка M₁M₂, то λ =1 и последние формулы имеют вид

Координаты середины отрезка равны полусумме координат его концов.

Задача 6.

Вычисление площади треугольника M₁M₂ M₃, если М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂), М₃(x₃, y₃).

N₁, N₂, N₃ – проекции точек M_1,M₂, M₃.

Площадь треугольника равна модуля определителя строки которого составлены из координат векторов, соедиеяющих одну вершину с другими.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 Следующая ⇒