Вычисление смешанного произведения трёх векторов в координатах.

Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O, (i, j, k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a₁, a₂, a₃), b=(b₁, b₂, b₃), с=(с₁, с₂, с₃).

(a, b, c)=([a, b], c)

[a, b]=

с=(с₁, с₂, с₃).

(a, b, c)= .

То есть смешанное произведение это число, равное определителю, строки которого составлены из координатных строк векторов, входящих в смешанное произведение.

Непосредственно из свойств определителя третьего порядка следуют вышеперечисленные свойства.

Смешанное произведение трёх векторов применяется для решения задач на вычисление объёмов многогранников.

Задача 1.

Из теоремы известно, что объём параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах равен модулю их смешанного произведения.

Задача 2.

Пусть задан тетраэдр М₁М₂М₃М₄(пирамида). Координаты вершин в декартовой прямоугольной системе координат R=={O, (i, j, k)} следующие М₁(x₁, y₁, z₁), M₂ (x₂, y₂, z₂), М₃(x₃, y₃, z₃), М₄(x₄, y₄, z₄). Определим координаты векторов

М₁М₂=( x_2- x₁, y_2- y_1, z_2- z₁)

М₁М₃=( x_2- x₁, y_2- y_1, z_2- z₁₎

М₁М₄=( x_4- x₁, y_4- y_1, z_4- z₁).

Построим на этих векторах параллелепипед. Построенный параллелепипед и тетраэдр имеют одну и ту же высоту, а площадь основания тетраэдра S_треуг.= 1/2S_парал. Следовательно, V_тетр.=1/6V_парал.

 

 

V_тетр.=1/6V_парал.=1/6ï (М₁М₂, М₁М₃, М₁М₄)ê.

Вычисляя смешанное произведение в координатах

V_тетр.=1/6mod .

 

Прямые и плоскости в пространстве.

Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости.

Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих способов:

1) точкой и парой неколлинеарных векторов:

aï M₀Î a, aï ê a, bï ê a, a b

2) тремя точками на плоскости:

aï M₁, M₂, M₃Î a, M₃Ï M₁M₂

3) Если в пространстве выбрана аффинная система координат, то плоскость можно задать отрезками, которые она отсекает на осях координат:

 

1. Пусть плоскость задана точкой М₀ принадлежащей ей и парой неколлинеарных векторов a, b, тогда плоскость можно определить следующим образом:

a={Mï M₀M, a, b- комплнарные векторы }(1)

a={Mï M₀M=u a+vb, где u, v-действительные числа}(2)

a={Mï (M₀M, a, b)=0}(3)

Введём в пространстве афинную систему координат R=={O, (е₁, е₂, е₃)} и пусть в этой системе координат заданы

М₀(x₀, y₀, z₀), a=(a₁, a₂, a₃), b=(b_1, b₂, b₃) (4).

(2) и (4) Þ или (5)

(5) - параметрические уравнения плоскости a, в этом уравнении u и v - параметры, пробегающие независимо друг от друга все действительные числа.

(3) и (4) Þ a: (6)

(6) - уравнение плоскости, заданной в виде определителя.

 

2. Рассмотрим второй способ задания.

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат R=={O, (i, j, k)} заданы три неколлинеарные точки(точки не лежащие на одной прямой):

M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), причем М₁Ï М₂М₃.

Тогда, полагая М₀=М₁(x₁, y₁, z₁) и a=М₁М₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), b=М₁М₃=(x₃-x_1, y₃-y₁, z₃-z₁), из

(6) получим

 

a: (7).

(7) называется уравнением плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки.

 

3.Рассмотрим третий способ задания.

Пусть плоскость задана отрезками a, b, c, отсекаемыми соответственно на осях координат ox, oy, oz. Обозначим через М₁, М₂ , М₃ - точки пересечения плоскости a с соответствующими осями:

M₁=aÇ ox M₁=(a, 0, 0)

M₂=aÇ oy Þ M₂=(0, b0) Тогда из (7) Þ .

M₃=aÇ oz M₃=(0, 0, c)

Разлагая определитель по элементам первой строки, приведём уравнение к виду:

Þ (x-a)bc+acy+abz=0 Þ bcx+acy+abz=abc

Поделим последнее равенство на abc:

(8)

(8) - уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат.

 

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

- единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

 

a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

 

В координатах это уравнение имеет вид:

xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

 

 

 

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости, заданной в прямоугольной декартовой системе координат.

Пусть в декартовой системе координат задана плоскость своим общим уравнением

a: Ax+By+Cz+D=0 (1)

Рассмотрим вектор n=(A, B, C), тогда этот вектор перпендикулярен плоскости a.

Докажем это.

Возьмём М₀(x₀, y₀, z₀)Î a, тогда выполняется

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0. (2)

Вычтем из (1) - (2) Þ A(x-x₀) +B(y-y₀) +C(z-z₀)=0. (3)

Из (3) следует, что скалярное произведение (n, M₀M)=0, где М - произвольная точка плоскости a. То есть вектор n^M₀M, а это означает перпендикулярность вектора n плоскости a.

.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Аварийная бригада из трех человек
2. Анатомия глотки. Физиология воспроизведения голоса. Резонаторная функция.
3. Библиографическое описание научного произведения
4. В число объектов внешне выполняющих все условия охраноспособности, но не подпадающих под правовую охрану авторского права, входят произведения народного творчества (пп.3 п.6 ст.1259).
5. Ваше положение на дороге – результат правильного выполнения всех трех пунктов.
6. Вид с трех сторон у меня чудесный.
7. Влияние схемы соединения обмоток на работу трехфазных трансформаторов в режиме холостого хода
8. Во сколько раз уменьшится пусковой ток трехфазного асинхронного двигателя при соединении фаз в звезду вместо треугольника?
9. Все произведения исполняются наизусть.
10. Выбор расчетных режимов и вычисление токов короткого замыкания
11. Высшие пространственные гармоники магнитодвижущей силы трехфазной обмотки
12. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат