Ортогональный базис евклидова пространства.

Определение. Векторы a, bÎ Е называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Понятие ортогональности можно считать обобщением понятия перпендикулярности.

1. Если рассмотреть вектора a, bÎ Е₃, то понятие ортогональности совпадает с понятием перпендикулярности.

2. Нулевой вектор ортогонален любому вектору с пространства Е, т.е. для любого вектора аÎ ЕÞ (а, q)=0.

Свойства:

1. Если вектора ортогонален каждому вектору системы b₁, b₂, …, b_n, то вектор а ортогонален любой линейной комбинации векторов системы, т.е.(а, l₁b₁+l₂b₂+…+l_nb_n)=0.

Доказательство: пусть а ортогонален каждому из векторов b₁, b₂, …, b_n, тогда (a, b_i)=0, где i=1, 2, …, n. Рассмотрим скалярное произведение (а, l₁b₁+l₂b₂+…+l_nb_n)= (а, l₁b₁)+(a, l₂b₂)+…+(a, l_nb_n)= l₁(а, b₁)+ l₂(a, b₂)+…+ l_n(a, b_n)=0, т.е. вектор а ортогонален любой линейной комбинации векторов системы согласно определению ортогональности.

Определение. Система векторов а₁, а₂, …, а_n евклидова пространства называется ортогональной системой, если векторы этой системы попарно ортогональны, т.е.

(a_i, a_j)=0, где i¹ j.

2. Ортогональная система ненулевых векторов пространства Е является линейно независимой системой.

Доказательство : предположим от противного, что ортогональная система а₁, а₂, …, а_n (а_i¹ q, i=1, 2, …, n) линейно зависимая, т.е. равенство l₁а₁+l₂а₂+…+l_nа_n=q (*)выполняется, если существует хотя бы одно l_i¹ 0, i=1, 2, …, n. Пусть l₁¹ 0 и умножим равенство (*) на а₁

(l₁а₁+l₂а₂+…+l_nа_n, а₁)= l₁(а₁, а₁)+l₂ (а₂, а₁)+…+l_n (а_n, а₁)=q,

причем (а₁, a_i)=0, i¹ 1. Тогда l₁(а₁, а₁)=0, но так как (а₁, а₁)> 0 Þ l₁=0(пришли к противоречию).ÿ

Следствие.Ортогональная система n-ненулевых векторов является базисом в евклидовом пространстве E_n.

Определение. Базис евклидова пространства Е_n, который является ортогональной системой векторов называется ортогональным базисом.

Пример(ортогонального базиса): е₁=(1, 0, 0, …, 0), е₂=(0, 1, 0, …, 0), …, е_n=(0, 0, 0, …, 1).

Теорема. Любое n-мерное евклидовое пространство имеет ортогональный базис.

Доказательство (процесс ортогонализации).

Если В=í b₁, b₂, …, b_ný - базис в Е_n, теорема доказана. Если же система векторов В не является базисом, то строим его следующим образом. Допустим, что система В*={c₁, c₂, …, c_n}- искомый ортогональный базис, где в качестве с₁ возьмем произвольный вектор из системы В, например с₁=b₁.Ищем вектор с₂= с₁+b₂, причем с₁, с₂ ортогональны, т. е. (с₁, с₂)=0 или (с₁, с₂)=( с₁, с₁+b₂)= (с₁, с₂)+(с₁, b₂)=0 Þ = , (с₁, с₁)¹ 0, таккак с₁=b₁¹ 0. При таком выборе с₁, с₂ортогональны. Ищем вектор с₃, ортогональный с₁ и с₂, в виде с₃= с₁+ с₂+b₃.

(с₁, с₃) = (с₁, с₁)+ (с₁, с₂)+(с₁, b₃) Þ = , т.к. (с₁, с₂)=0, (с₁, с₃)=0.

(с₂, с₃) = (с₁, с₂)+ (с₂, с₂)+(с₂, b₃) Þ = , т.к. (с₁, с₂)=0, (с₂, с₃)=0.

При таком выборе чисел _{, ,} система {c₁, c₂, c₃} является ортогональной и т.п. Допустим, что построена ортогональная система ненулевых векторов{c₁, c₂, …, c_k}, которые являются линейными комбинациями векторов b₁, b₂, …, b_k. Следующим вектором будет с_k+1= с₁+ с₂+…+b_k+1. Если с_k+1=q, то вектор b_k+1 линейно выражается через систему векторов b₁, b₂, …, b_k, но это невозможно, так как В - базис, т.е. с_k+1¹ q. Так как векторс_k+1ортогонален с_i, i=1, 2,.., k, то получим систему уравнений для нахождения чисел _{, ,} …, _{: =} и т.д. пока не найдем последний вектор с_n== с₁+ с₂+…+ с_n-1+b_n, причем с_n ортогонален с_i, i=1, 2, …, n-1.

Построили систему векторов, являющуюся ортогональным базисом. 

Ортонормированный базис.

 

Определение1. Вектор а из Е_n, длина которого равна единице называется нормированным.

Пример: aÎ V₄, a=(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)Þ ||a||= = =1.

Из определения нормированного вектора следует, что если мы имеем любой ненулевой вектор а¹ q, то вектор а₁= такженормированный (||а₁||= = = = =1

Определение2. Переход от вектора а к вектору а₁(длина которого равна единице) называется нормированием вектора а.

Определение3. Базис е₁, е₂, …, е_n пространства Е_n называют ортонормированным, если он ортогональный и все его вектора нормированы, т.е. имеет место следующее:

.

Теорема. В каждом евклидовом пространстве Е_n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство: Известно, что в пространстве Е_n существуют ортогональные базисы.Пусть b₁, b₂, …, b_n – ортогональный базис в пространстве Е_n. Разделим каждый из векторов на его длину и получим систему векторов: .

Полученная система векторов является ортонормированным базисом пространства Е_n, так как .

Теорема. Базис е₁, е₂, …, е_n пространства Е_n ортонормирован тогда, когда скалярное произведение любых двух векторов пространства Е_n равно сумме произведений соответствующих координат векторов а и b в этом базисе.

Теорема. Если е_1, е₂, …, е_n- ортонормированный базис пространства Е_n, то i-я координата разложения любого вектора а по этому базису из данного пространства равнаскалярному произведению вектора а на вектор е_i, т.е. равна (а, е_i).

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. O единство экономического пространства.
2. Б. Некоторые базисные предпосылки
3. Базисные функции с конечным носителем
4. Интенсивное использование пространства. Оседлость
5. Организация воспитательной деятельности классного руководителя с использованием информационного пространства.
6. Переведем все сопротивление в относит. базисные
7. Политическая система общества: коммуникационный базис
8. Расширение базиса для представления
9. Тема 6. Основные теории корпоративного управления как методологический базис организации финансов публичных компаний
10. Типология драматического пространства.
11. Флегмоны забрюшинного пространства. Причины. Клинические проявления, диагностика, современный подход к лечению гнойных заболеваний тканей забрюшинного пространства.