Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряжен­ность поля Е обратно пропорциональна e. Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скач­кообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростати­ческих полей. Поэтому оказалось необхо­димым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором элек­трического смещения, который для элек­трически изотропной среды равен

D=ee₀E. (1)

Используя формулы e = 1+c и P = ce₀E, век­тор электрического смещения можно вы­разить как

D=e₀Е+Р (2)

Единица электрического смещения — Кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

Связанные заряды появляются в диэлектрике при на­личии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных элек­трических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных заря­дов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором на­пряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описыва­ется электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вы­звать перераспределение свобод­ных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распре­делении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е, поле D изо­бражается с помощью линий электриче­ского смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находят­ся связанные заряды, линии вектора D про­ходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой повер­хности S поток вектора D сквозь эту по­верхность

(3)

Теорема Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике:

(4)

т. е. поток вектора смещения электроста­тического поля в диэлектрике сквозь про­извольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внут­ри этой поверхности свободных электриче­ских зарядов. В такой форме теорема Га­усса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Выведем дифференциальную форму теоремы Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике. Применим (4) к малой поверхности DS, ог­раничивающей малый объем DV и содержащей заряд DQ. Разделим обе части на DV и перейдем к пределу при стремлении DV к нулю:

(5)

Предел, стоящий в левой части выражения (5), определяет величину, называемую дивергенцией поля. Тогда выражение (5) можно записать

div D = s, (6)

где s - объемная плотность свободного заряда.

Практический аспект теоремы Гаусса состоит в том, что с ее помощью рассчитываются симметричные элект­рические поля в неоднородных средах.

 

 

Электрическая емкость уединенного

Проводника

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенци­ал прямо пропорциона­лен заряду проводника. Разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные по­тенциалы, Поэтому для уединённого про­водника можно записать

(1)

Коэффициент пропорциональности С называется электроемкостью проводника. Из (1) следует, что

(2)

Ем­кость уединенного проводника определяет­ся зарядом, сообщение которого провод­нику изменяет его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от мате­риала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф -емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяет­ся на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Емкость уединённо­го шара радиуса R, находящегося в одно­родной среде с диэлектрической проницае­мостью e, равна

(3)

Из (3) следует, что емкостью в 1 Ф обла­дал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=9× 10⁶км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С = 0, 7мФ). Поскольку, фарад - очень большая величина, то на практике используются дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (3 следует, что единица электрической посто­янной e₀ фарад на метр (Ф/м).

Конденсаторы

Конденса­торами называются устройства, обладающие способностью при малых раз­мерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать зна­чительные по величине заряды, т.е., обладать большой емкостью.

Если к заряженному проводнику при­ближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или свя­занные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q бу­дут заряды противоположного знака. Эти заряды ослабляют поле, соз­даваемое зарядом Q, т. е. понижают по­тенциал проводника, что приводит к повышению его электро­емкости.

Конденсатор состоит из двух провод­ников (обкладок), разделенных диэлект­риком. На емкость конденсатора недолжны, оказывать влияния окружающие тела, поэ­тому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: две плоские пластины; два коакси­альных цилиндра; две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончают­ся на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, явля­ются равными по модулю разноименными зарядами. Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда, накопленного в кон­денсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

(1)

Если расстояние между пластинами конденсатора мало по сравнению с их линейными разме­рами, то краевыми эффектами можно пре­небречь и поле между обкладками считать однородным. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними равна

(2)

где ε — диэлектрическая проницаемость.

Емкость плоского конденсатора:

Емкость цилиндрического конденсатора:

,

где l – длина конденсатора, r_1, r₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Емкость сферического конденсатора:

 

Конденсаторы характеризуются про­бивным напряжением — разностью потен­циалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой — элек­трический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств ди­электрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирова­ния ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом использу­ется их параллельное и последовательное соединение.

I. Параллельное соединение конденса­торов

У параллельно соединен­ных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j _А-j _В. Если емкости отдельных конденсаторов C₁, C₂, ...., Сn, то их заряды равны

………………………

,

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов

Допустимое напряжение определяется допустимым напряжением меньшего конденсатора.

2. Последовательное соединение кон­денсаторов.

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых кон­денсаторов

С другой стороны,

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, об­ратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемойв батарее.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I.4. СЕМЬЯ И ШКОЛА : ОТСУТСТВИЕ УСЛОВИЙ ДЛЯ ВОСПИТАНИЯ
2. II. Ассистивные устройства, созданные для лиц с нарушениями зрения
3. II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАНИЦ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕЛОВЕКА
4. II. Порядок представления статистической информации, необходимой для проведения государственных статистических наблюдений
5. III. Защита статистической информации, необходимой для проведения государственных статистических наблюдений
6. III. Перечень вопросов для проведения проверки знаний кандидатов на получение свидетельства коммерческого пилота с внесением квалификационной отметки о виде воздушного судна - самолет
7. Qt-1 - сглаженный объем продаж для периода t-1.
8. V Методика выполнения описана для позиции Учителя, так как Ученик находится в позиции наблюдателя и выполняет команды Учителя.
9. V. Порядок разработки и утверждения инструкций по охране труда для работников
10. VII. Перечень вопросов для проведения проверки знаний кандидатов на получение свидетельства линейного пилота с внесением квалификационной отметки о виде воздушного судна - вертолет
11. VIII. Какую массу бихромата калия надо взять для приготовления 2 л 0,02 н. раствора, если он предназначен для изучения окислительных свойств этого вещества в кислой среде.
12. XI. Вход для сопровождающих и зрителей