Предмет теории вероятностей. Случайные события, их классификация. Действия над событиями. Алгебра событий.

Предмет теории вероятностей. Случайные события, их классификация. Действия над событиями. Алгебра событий.

Теорвер – наука, изучающая закономерности, присущие случайным массовым событиям. Предметом теорвера явл. Метаматические модели случайных явлений.

Пусть проводится некоторый опыт, исход к. предсказать невозможно. Случайным событием назыв. Любой исход опыта, к. м/произойти, либо не произойти.

Классификация:
1)достоверные – если событие обязательно наступит в рез-те данного опыта
2)невозможные – если событие в рез-те данного опыта заведомо не произойдет
3)(? )несовместимые – 2 обытия: если наступление одного исключает наступление другого
4)совместные – иначе

5)события А1, …Аn – попарно несовместные, если любые 2 из них несовместны

6)несколько событий в данном опыте назыв. равновозможными, если ни одно из них не явл. Объективно более возможным, чем другое
Действия:
1) сумма 2х событий А и В назыв. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

(А+В ~ АUВ)

2) произведением 2х событий назыв. Событие, сотоящее в совместном наступлении событий А и В

(А )

3)разностью 2х событий А и В назыв. Событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В

(А\В)

4)Противоположным к событию А назыв. Событие , к. происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А

5)событие А влечет событие В (А ) / или А явл. Частным случаем события В – если из того, что происходит событие А следует, что происхдит событие В

2. Статистическое, классическое и геометрическое определения вероятности.

Классическое. Пусть проводится опыт с n исходами. Такие исходы назыв. Случайными/элементарными событиями, а опыт. Назыв. Классическим. Случай , к.приводит к наступлению события А назыв. Благоприятствующим событию А, т.е. А. Вероятностью события А или классической вероятностью назыв. Отношение числа m, т.е. числа благоприятствующих случаев события а к общему числу случаев n.
Р(А) = m/n
Геометрическое. В области ῼ случаным образом выбирается точка x. При этом попадание точки в область – это достоверное событие, а в область А (А ) – случайное событие. Пусть площад оласти А – S_A, а площадь всей области - S_ῼ. Тогда геометрическая вероятность наступления события:
Р(А) = S_A_/ S_ῼСтатистическое. Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

Р(А) = (А) = m/n, где Р(А)– вероятность появления события А; – относительная частота появления события А; m- число испытаний, в которых появилось событие А; n- общее число испытаний.

Схема выбора без возвращения и с возвращением. Перестановки. Размещения. Сочетания.

Пусть задано множ-во, состоящее из n эл-ов. Размещение из n элементов по m назыв.любое упорядоченное подмнож-во данного множ-ва, содержащее m эл-ов. Т.е. размещения – это выборки, состоящие из m эл-ов, к.отличаются друг от друга либо составом эл-ов, либо порядком их следования.
A_n^m = n! /(n-m)!
Перестановками из n эл-ов назыв. Размещения из n по n эл-ов./
Р_n = n!
Сочетаниями из n эл-ов по m назыв.любое подмножество исходного множж-ва, к.содержит m эл-ов. Порядок не важен, отличаются только составом эл-ов.

C_n^m = n! /((n-m)! * m! )
Если при выборе m эл-ов из n, эл-ы возвращаются и упорядочиваются, то говорят, что это размещение с повторением. Они отличаются друг от друга составом эл-ов, порядком и кол-вом повторений эл-ов.

= n^m – размещения с повторением
Сочетания с повторениями – это выборки, состоящие из m эл-ов, выбранные из исходного множ-ва, состоящего из n эл-ов, при этом эл-ы возвращаются и не упорядочиваются.

= C_n₊_m_-1^m
Пусть множ-во состоит из n эл-ов и пусть в нем имеется k различных эл-ов. 1ый эл-т повторяется n1 раз, 2ой – n2, …, kый – nk раз; n1+n2+n3+… = n. Перестановки из n эл-ов данного множ-ва назыв. Перестановками с повторениями из n эл-ов. Число таких перестановок – P_n(n1, …, nk)
P_n(n1, …, nk) = n! /(n1! *n2! *…*nk! )

Теорема Чебышева

Определение сходимости по вер-ти. Пусть заданы СВ Х1, …, Хn, т.е. бесконечное кол-во СВ. Эти СВ сходятся по вер-ти к величине А (случайной или неслучайной), если Р(|Xn - A|< )-> 1 при n->

= 1; Xn A при n->

Теорема Бернулли
Если вер-ть наступления события А в одном испытании равна р, число наступления этого события при n независимых испытаниях равно n_A, то для любого справедливо равенство

= 1, т.е. относительная частота P^*(A) = n_A/n наступления события А в n испытаниях сходится по вер-ти к вер-ти события А.

Основные понятия математической статистики Генеральная и выборочная совокупности, понятие вариационного ряда. Статистический ряд частот. Интервальный ряд. Гистограмма и полигон частот.

Мат. Статистика – раздел математики, в к.изучаются методы сбора, систематизации и обработки рез-тов наблюдений массовых случайных явлений для выявления сущ-вующих закономерностей.
Совокупность всех подлежащих изучению объектов или всех рез-тов наблюдений над каким-то объектом назыв.генральной совокупностью.

Выборочной совокупностью/выборкой назыв.совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Последовательность вариант, записанных по возрастанию, назыв.вариационным рядом.

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте . Ширину интервала можно определить по формуле Стерджеса: (двоичный лог)
Полигон частот– ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами , .