Закон Пуассона: вероятности, числовые характеристики, функция распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству:

2. F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументы, т.е.:

если и

3. Имеют место предельные соотношения:

4. При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей X:

При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y:

Числовые хар-ки систем

M(X) =
D(X) =
Начальный момент = M(X^k, Y^s)
Центральный момент

15. Системы НСВ. Двумерные НСВ, плотность распределения и ее свойства, числовые характеристики систем.
Двумерную случайную величину обозначают (X, Y). Каждую из величин X и Y называют составляющей; обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (xi, yi) и их вероятностей p(xi, yi). Обычно закон распределения задают в виде таблицы.
Двумерная СВ назыв.непрерывной, если ее ФР F(X, Y) явл.непрерывной ф-цией, дифференцируемой по каждому из аргументов и сущ-вует 2я смешанная производная этой ф-ции. Плотность распределения двумерной СВ назыв.2я смешанная производная от ФР
f(X, Y) = F’’_xy(XY)
Св-ва плотности НДСВ
1) x, y f(x, y)> =0
2)P((X, Y) D) = – вер-ть попадания в область D|
3)F(X, Y) =

4) = 1
5)

Числовые хар-ки систем

Начальный момент = M(X^k, Y^s)
Центральный момент =

16. Зависимость и независимость двух СВ. Условные законы распределения двумерных СВ. Коэффициент корреляции, корреляционный момент, их свойства.
СВ Х и У назыв.независимыми, если независимы события {X< x} и {Y< y}, иначе СВ назыв.зависимыми.

Если Х и У зависимы между собой, то для хар-ки их зависимости вводится понятие условных ЗР. Условным ЗР СВ, входящей в систему (Х, У), назыв.её ЗР, найденный при у-вии, что другая СВ приняла определенное значение или попала в определенный интервал.
условным законом распределения СВ Y при условии называется совокупность вероятностей

Аналогично определяется закон распределения ДСВ X при условии

Корреляционным моментом/ковариацией 2х СВ Х и У назыв.центральный момент первого порядка от (Х, У)
cov(X, Y) = = M(XY)-M(X)*M(Y)
Св-ва ковариации:
1) cov(X, Y) = cov (Y, X)
2) cov(X, X) = D(X)
3)Х и У независимы => cov(X, Y) = 0
4)D(X+-Y) = D(X)+D(Y)+-2cov(X, Y)
5) cov(X+C, Y) = cov(X, Y)
cov(X, Y+C) = cov(X, Y)
cov(X+C, Y+C) = cov(X, Y)
6) cov(X, Y)< =
Коэффициент корреляции
=r(X, Y)
Св-ва коэффициента корреляции
1)-1< = < = 1
2)X и У независимы => =0
3)Х и У связаны линейной зависимостью
У = aX+b
| | = 1
Если a> 0=> = 1; если a< 0=> =-1
4) Чем ближе | | к 1, тем теснее линейная связь между переменными Х и У
линейная связь:
0< =| |< =0, 25 – слабая
0, 25< =| |< =0, 5 – умеренная
0, 5< =| |< =0, 75 – средняя
0, 75< =| |< =0, 9 - сильная
0, 9< =| |< =1 – очень сильная

17. Функции СВ одного случайного аргумента.
Пусть рассматриваются две СВ X и Y, связанные функциональной зависимостью

Если X – ДСВ, закон распределения которой определяется формулой то Y – ДСВ, а ее закон распределения выражается формулой где ,

Математическое ожидание и дисперсия СВ Y определяются соответственно равенствами:

Если X – НСВ с плотностью распределения и если – дифференцируемая и монотонная функция, то плотность распределения СВ выражается формулой , где – функция, обратная функции (эта функция существует в силу монотонности )

Если функция немонотонная, то числовая прямая разбивается на n промежутков монотонности и обратная функция находится на каждом из них; плотность распределения СВ определяется в этом случае по формуле

Для нахождения математического ожидания и дисперсии СВ необязательно находить ее закон распределения; можно воспользоваться формулами: