Вычисление прогноза по методу экспоненциальных средних

 

При построении прогноза с использованием экспоненциальных средних нужно учитывать, что каждое новое прогнозное значение основывается на предыдущем прогнозе: ,

где − прогноз для периода ;

− прогноз для периода ;

− константа сглаживания;

− фактический уровень для периода .

Ошибка прогноза:

.

Рассмотренный метод прогнозирования относятся к классу адаптивных методов. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в том, что при прогнозировании на период учитывается ошибка предыдущего прогноза.

Экспоненциальное сглаживание – широко распространенный метод прогнозирования из-за лёгкости вычисления. Для коротких временных рядов, которые часто встречаются в экономике, важным представляется выбор начальной оценки прогноза. Для этой цели могут быть использованы разные приёмы: среднее значение нескольких первых периодов; субъективные оценки, полученные экспертным путём; первое фактическое значение уровня динамического ряда как прогноз для периода 2.

Например: Используя данные грузооборота внутреннего водного транспорта по Хабаровскому краю, рассчитать прогнозные значения при .

Таблица 15 − Расчётная таблица

 

Год	Грузооборот внут-реннего водного транспорта, млн т-км ()	Прогноз	Ошибка прогноза
	2 713	2 636, 9	76, 2
	2 433	2 674, 9	-241, 9
	2 536	2 554, 0	-17, 9
	2 458	2 545, 0	-86, 9
	2 489	2 501, 5	-12, 5
	2 043	2 495, 2	-452, 2
	2 194	2 269, 1	-75, 1
	2 236	2 231, 6	4, 4
	2 562	2 233, 8	328, 2
	2 573	2 397, 9	175, 1
	2 093	2 485, 4	-392, 4
	2 145	2 289, 2	-144, 2
	-	2 217, 1	-

;

;

;

;

;

(таблица 15).

Рассмотренные экспоненциальные средние представляют собой средние первого порядка, т.е. средние, полученные при сглаживании уровней динамического ряда (первичное сглаживание). При производстве прогноза могут использоваться экспоненциальные средние более высоких порядков, т.е. средние, полученные путём многократного сглаживания.

Экспоненциальная средняя -го порядка определяется по формуле

.

Если =1, то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней первого порядка:

.

Если , то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней второго порядка:

,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние первого порядка.

Если 3, то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней третьего порядка:

,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.

Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно чётко.

Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.

Адаптивное прогнозирование по полиномиальным моделям

Английский учёный Р. Браун предложил использовать экспоненциальные средние в прогнозировании для вычисление поправок коэффициентов сглаживающего полинома. Предположим, что для прогноза использован линейный тренд:

.

Согласно теореме Брауна – Майера параметры линейного тренда связаны с экспоненциальными средними первого и второго порядков:

;

.

Соответственно:

;

.

Из формулы расчёта экспоненциальных средних нам известно, что необходимо задать начальные условия , т.е. определить и .

Начальные условия задаются в виде следующих формул:

;

.

Например: По даннымо численности персонала, занятого исследованиями (Хабаровский край), произведём прогнозпо полиномиальной моделипервого порядка, с помощью экспоненциальной средней (таблица 16).

Таблица 16 − Численность персонала, занятого исследованиями, в Хабаровском крае, чел.

Год

Численность персонала, занятого исследованиями, чел.

Решение

Проведя аналитическое выравнивание по прямой было получено уравнение тренда:,

где =1, 2, …, 12.

Параметр определим из формулы:

.

Соответственно:

, а .

Начальные условия для экспоненциального сглаживания в нашем примере окажутся:

.

Исходя из формулы экспоненциальной средней, экспоненциальные средние и составят:

,

где , т.е. и ;

;

,

где ; .

Тогда скорректированные параметры линейного тренда составят:

;

.

Прогноз проводим по модели:

,

где − период упреждения.

В рассматриваемом примере прогноз на 2011 г. составит (при ):

.

Соответственно при прогнозе на 2012 г. берём :

.

Если прогноз основывается только на уравнение тренда , то на 2011 г. и на 2012г. он составит:

;

.

Рассмотренные параметры линейного тренда и можно корректировать на новую информацию. Так, после прогноза на 2011 г. можно вновь определять и и на их основе можно строить новое уравнение для прогноза на 2012г.

Если ряд динамики описывается параболой второго порядка , то рассчитываются экспоненциальные средние первого ( ), второго ( ) и третьего ( ) порядков. Модель, по которой осуществляется прогноз, имеет вид:

,

где , , − оценки параметров уравнения тренда, скорректированные по экспоненциальному сглаживанию:

;

:

.

Начальные условия для экспоненциальных средних разных порядков определяются по формулам:

;

;

.

Экспоненциальные средние:

;

;

.

Например: По даннымо надое молока на одну корову в Хабаровском крае (таблица 17) произведём прогнозпо полиномиальной моделивторого порядка, с помощью экспоненциальной средней:

Таблица 17 − Надой молока на одну корову, кг.

 

 

Год

Надой молока на одну корову, кг

Решение

 

Параметр определим из формулы

.

Соответственно

, а .

Начальные условия для экспоненциального сглаживания:

;

;

 

.

Экспоненциальные средние:

,

где , т.е. и ;

;

;

.

Скорректированные параметры параболического тренда:

;

;

.

Прогноз проводим по модели на 2011-2012 гг.: .

;

.

Метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования имеет как достоинства, так и недостатки. Достоинствами метода является его простота, достаточная точность, которая возрастает с увеличением длины динамического ряда и снижается с ростом периода прогноза. Недостатком можно отнести отсутствие точного выбора оптимальной величины параметра сглаживания . Данный метод эффективен при проведении краткосрочных прогнозов.

Задания

Задача 1. Представлены данные о поголовье крупного рогатого скота в Хабаровском крае.

Год	Поголовье крупного рогатого скота, тыс. голов	Год	Поголовье крупного рогатого скота, тыс. голов
	62, 3		38, 0
	59, 9		35, 0
	57, 1		34, 7
	54, 1		32, 7
	48, 3		30, 0
	40, 3		26, 9

 

Провести сглаживание уровней динамического ряда с помощью экспоненциальных средних ( , ). Выбрать наилучшую константу сглаживания и рассчитать прогнозные значения.

 

Задача 2. Представлены данные о поголовье птицы в сельхоорганизации в Хабаровском крае.

 

Год	Птица в сельхозорганизациях, тыс. голов	Год	Птица в сельхозорганизациях, тыс. голов, тыс. голов
	62, 3		38, 0
	59, 9		35, 0
	57, 1		34, 7
	54, 1		32, 7
	48, 3		30, 0
	40, 3		26, 9

 

Произвести прогнозпо полиномиальной моделипервого порядка, с помощью экспоненциальной средней.

 

Задача 3. Представлены данные об обороте общественного питания в Хабаровском крае.

 

Год	Оборот общественного питания в процентах к предыдущему году (в сопоставимых ценах)	Год	Оборот общественного питания в процентах к предыдущему году (в сопоставимых ценах)
	89, 9		105, 7
	101, 3		103, 7
	101, 1		105, 9
	103, 1		100, 0
	115, 9		97, 2
	104, 3		105, 4

 

Произвести прогнозпо полиномиальной моделипервого порядка, с помощью экспоненциальной средней.

 

Задача 4. Представлены данные о поступлении иностранных инвестиций в Хабаровском крае.

 

Год	Поступление иностранных инвестиций, млн долл. США	Год	Поступление иностранных инвестиций, млн долл. США
	33, 2		245, 5
	27, 2		217, 6
	19, 9		248, 8
	33, 3		240, 2
	27, 4		265, 1
	96, 2		418, 7

Произвести прогнозпо полиномиальной моделивторого порядка, с помощью экспоненциальной средней.

 

Задача 5. По данным о числе зарегистрированных грабежей в Хабаровском крае:

 

Год	Число зарегистрированных грабежей	Год	Число зарегистрированных грабежей

Выполните следующее:

1. Проверьте и обоснуйте предпосылки реализации методов простого экспоненциального сглаживания и гармонических весов на основе графического метода анализа.

2. Произведите прогноз на 2 − 3 периода упреждения методом простого экспоненциального сглаживания.

3. Произведите прогноз на 2 − 3 периода упреждения методом гармонических весов.

4. Произведите оценку точности полученных в п.2 и 3 прогнозов на основе: средней квадратической ошибки.

 

Контрольные вопросы и задания к разделу III

 

1. Сформулируйте сущность метода экспоненциальных средних.

2. В чём заключается специфика применения метода экспоненциальных средних для прогнозирования социально-экономических процессов?

3. Перечислите особенности реализации методов адаптивного прогнозирования.

4. Какие полиномиальные модели чаще всего применяют для прогнозирования?

5. Сформулируйте основные требования реализации методов адаптивного прогнозирования.

6. Перечислите достоинства и недостатки метода экспоненциального сглаживания для прогнозирования.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. VI Моделирование рынка и составление прогноза выпуска автомобилей
2. Арабоязычная философия средних веков. Философские и медицинские воззрения Ибн-Сины.
3. Вместо заключения. О ТРУДНОСТЯХ ПРОГНОЗА
4. Возможности прогноза информированности Аудитории
5. Вопрос 1. Философия Средних веков
6. Выбор наилучшей математической модели для осуществления прогноза и доверительные интервалы прогноза
7. Выбор расчетных режимов и вычисление токов короткого замыкания
8. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
9. Вычисление дирекционных углов и румбов сторон хода.
10. Вычисление момента инерции для простейших тел
11. Вычисление нагрузок на полку панели перекрытия.
12. Вычисление определенного интеграла