Поля и операции векторного анализа. Градиент

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Ротор

Ротор векторного поля характеризует степень отличия исследуемо

го поля от однородного.

Дивергенция

Значение дивиргенции равно плотности источников рассматривае-

мого поля в заданной точке пространства.

Дивиргенциювекторного поля Авычисляют путем дифференци-рования его проекций по определенным правилам:

67. Оператор Лапласа

Опера́ тор Лапла́ са (лапласиа́ н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :

где — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой :

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

или

В случае если в n-мерном пространстве:

В декартовой системе координат оператор запишется:

68. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины.

Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением.

При мер скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.

Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции точки М

Если в пространстве введена декартова СК xyz, то

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхность уровня данного поля определяется уравнением

В случае поля температур, создаваемого в однородной и изотропной среде точечным источником тепла, поверхности уровня будут сферами с центром в источнике (центрально-симметричное поле).

В случае бесконечно равномерно нагретой нити поверхностями уровня (изотермическими поверхностями) будут круговые цилиндры, ось которых совпадает с нитью

69. Производная по направлению. Ее физический смысл

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

Градие́ нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Пример

Например, градиент функции будет представлять собой:

Для характеристики величины и направления скорости измене- ния скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля

где - коэффициенты Ламэ по координатам, яв- ляющиеся коэффициентами пропорциональности между диффе- ренциалами обобщенных координат и бесконечно малыми ребра- ми элементарного параллелепипеда в выбранной (•) пространства

Коэффициенты Ламэ для наиболее употребительных СК:

Оператор Гамильтона

В декартовой системе координат оператор ∇ записывается:

Свойства оператора набла

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор на скаляр , то получится вектор

который представляет собой градиент функции .

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора .

Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

· Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

Два всегда совпадают:

Три оставшихся связаны соотношением:

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78