Простейшие показатели тесноты связи (коэффициент Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации).

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Рассмотрим ряд простейших показателей тесноты связи, которые приблизительно измеряют зависимости между признаком-фактором «х» и признаком-результатом «y».

Коэффициент Фехнера (1801-1887 г.г.) измеряет тесноту связи по числу совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней. Степень тесноты связи такая же как у коэффициента корреляции. Он равен:

, где

с – число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней по признаку-фактору – «х» и признаку-результату «y».

н – число несовпадений знаков отклонений.

Этот показатель принимает значение от -1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то н = 0 и тогда = +1, что говорит о возможном наличии прямой связи.

Если же знаки всех отклонений – разные, то с = 0 и = -1, что говорит о возможном наличии обратной связи. Рассчитаем этот показатель (см. табл. 16). Рассчитаем средние величины по «х» и по «y».

Таблица 16

Расчет коэффициентов Фенхера и корреляции рангов Спирмэна

№п/п	Среднесписочная численность работников «х»	Товарная продукция, тыс.руб. «y»			Совпадение или несовпадение знаков
		2, 5	-	-	с	+2
		5, 0	-	+	н	+3
		6, 0	+	+	с	+2
		3, 0	+	-	н	-2
		1, 6	+	-	н	-6
		2, 0	-	-	с	+2
		1, 5	-	-	с	-3
		10, 5	+	+	с	+2
итого		32, 1			с = 5 н = 3	+11 -11	=74

Средняя списочная численность рабочих равна:

Средний объем товарной продукции равна:

Затем находим отклонения от средних величин и посчитаем число совпадений и несовпадений знаков.

Коэффициент Фехнера составит , что говорит о слабой связи прямой между списочной численностью и товарной продукцией.

Этот показатель целесообразно использовать для установления факта наличия при небольшом объеме исходной информации.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна равен:

, где

– количество рангов

– разность между рангов

Р – ранг (порядковые номера вариантов).

Он варьирует от -1 до +1 и измеряет тесноту связи при небольшом количестве исходной информации и измеряет тесноту связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, что значение этих признаков могут быть проранжированны по степени убывания или возрастания. Коэффициент корреляции рангов Спирмена равен:

или 12%

Теснота связи между признаком «x» и признаком «y» - слабая, прямая.

Коэффициент ассоциации применяется для изменения тесноты связи для качественных альтернативных признаков. Он равен:

, где

a – противоположно b

c – противоположно d

Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей»), стратегическое сказуемое, которое схематически может быть представлено в следующем виде (см. табл. 17)

Таблица 17

Расчетная таблица для коэффициента ассоциации

Оценки Студенты	Положительные оценки	Неудовлетво-рительные оцени	Итого:
Работающие по специальности	а	b
Работающие не по специальности	c	d
Итого:

Коэффициент ассоциации равен:

или 68, 8%

Данный показатель показывает частоту связи между показателями оценок, работающего по специальности и не по специальности. Связь между показателями будет тесная (68, 8%), т.е. чем больше студенты будут работать по специальности, тем больше будет положительных оценок.

Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.

Как правило расчет коэффициента корреляции при определении тесноты связи производится на базе небольшого числа исходных данных – выборочных данных.

В этой связи возникает необходимость оценить существенности коэффициента корреляции, которая дает возможность распространить выводы по результатам выборочных данных на генеральную совокупность. Критерии оценки существенности расчета коэффициента корреляции основаны на условии нормального распределения значений признака в генеральной совокупности. Рассмотрим некоторые из них: при большом объеме выборки и при малом объеме выборки.

При большом объеме выборки

При большой выборке, отобранной из генеральной совокупности нормального распределения, предполагается считать распредение коэффициента корреляции близко к нормальному со средней, равной «r» и дисперсией , а среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции тогда будет равна:

, где

r – коэффициент корреляции выборочной совокупности;

n – объем выборки;

k = n – 2 – число степеней свободы при линейной зависимости.

Если величина > в раз, или > [8]

Найдем для сгруппированных данных (см. таб. 14) среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции:

, тогда

С вероятностью0, 95 и числом степеней свободы k = 50 – 2 = 48, [9].

Поскольку > , следует, что с вероятностью Р = 0, 95 и числом степеней свободы k = 48 можно утверждать о существенности выборочного коэффициента корреляции, т.е. связь между х и y – значимая.

Для генеральной совокупности коэффициент корреляции будет находится в пределах.

или

С вероятностью 0, 95 можно утверждать, что коэффициент корреляции будет не ниже 46, 6% и не выше 80, 4%.

При малой выборки

Для малого объема выборочной совокупности для оценки значимости коэффициента корреляции.

Если > , то расчетный коэффициент корреляции существенен и связь между х и y вполне реальна. Если < , то связь между х и y несущественна и корреляционная связь в генеральной совокупности отсутствует.

По данным таблицы 15

, а с вероятностью 0, 95 и числом степеней свободы k = 10 – 2 = 8, [10].

Значит связь между х (простоями) и y – (выпуском продукции) существенна, т.к.

8. Проверка возможности использования прямолинейной функции – гипотезы Кендэла [11] о линейной корреляционной зависимости.

Для проведения гипотезы Кендэла о линейной зависимости определяется величина вероятности, которая рассчитывается по следующей формуле:

[12], где

n – объем совокупности

m – число групп по признаку фактору х

Если критерий найденный с определенной вероятностью и критериями свободы ( и ) будут меньше F расчетного, то гипотеза о линейной связи между х и у отвергается. Если наоборот – то возможность использовать линейную функцию не опровергается.