Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Средние величины, о которых шла речь в данной главе, является своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.

Например, среднее число членов семьи, равное 3, 84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Размер обуви	Число мужчин старше 16 лет % к итогу	Накопление частности
До 37






44 и более
Всего

Таблица

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискретном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100: 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы № 2), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

Вычисление моды (М_о) и медианы (М_е.) различно для дискретных и интервальных рядов.

В дискретных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Для определения медианы вычисляются накопленные частоты, медианным будет тот вариант, накопленная частота которого первой превысит половину всех частот.

Для интервальных вариационных рядов расчет моды и медианы требует применения специальных формул:

где

- нижняя граница модального интервала (модальным называется имеющий наибольшую частоту);

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным

, где

- нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого первой превышает половину всех частот);

величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

частота медианною интервала.

Определим моду и медиану по следующему ряду распределения:

Среднесуточный товарооборот, млн.руб.	Число предприятий	Накопленная частота
до 10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60 и более
ИТОГО		-

Определим моду и медиану:

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач

Специальные средние

Средние прогрессивные – используются для расчета прогрессивных нормативов выработки или расхода ресурсов ( сырье, материалов и др.)

Средняя прогрессивная представляет собой математическую среднюю арифметическую, рассчитанную по при определении норм расхода и при определении норм выработки _.

Процедура расчета: 1. рассчитывается средне арифметическое для всей совокупности. Определяют и по выделенным значениям снова рассчитывают среднюю арифметическую, она и будет средней прогрессивной.

Задача: рассчитать прогрессивную норму выработки продавца для организации материального стимулирования. Наблюдения за производительностью показала, что выработка за месяц составила:

Выручка, тыс.руб	Количество наблюдений

Итого

, выделим значения

Средняя хронологическая - используется для осреднения значений привязанных к моменту времени:

средний остаток материалов на складе:

1.04.2001 -110 тыс. руб

1, 05.2001 -120 тыс руб.

1, 06, 2001 -100 тыс. руб

1.07.2001 -110 тыс. руб

Средние остатки товарно - материальных ценностей используется при расчете коэффициента оборачиваемости. По правилам средней хронологической рассчитываются: средний срок хранения вклада, средний остаток работающих активов, средний остаток оплаченных ресурсов и кредитов, оплачиваемых в банке.

Вопросы для самопроверки

В чем заключается познавательное значение абсолютных и относительных величин?
В чем состоит сущность средней?
В чем заключается связь метода группировок и метода средних?
Какие виды средних вы знаете?
В каких случаях применяется простая (невзвешенная) средняя?
Когда необходимо использовать среднюю гармоническую?
Можно ли для одних и тех же исходных даны использовать две формулы средней?
Что характеризуют мода и медиана?
В каких случаях используется средняя хронологическая?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕМА 4

Задача 1.

Объем продаж компании Samsung в странах СНГ в I полугодии 1996г. составил 250 млн. долл. В целом же за год компания планировала реализовать товаров на 600 млн. долл. Вычислите относительный показатель плана на II полугодие.

Задача 2.

. Предприятие планировало увеличить выпуск продукции в 1997г. по сравнению с 1996г. на 18%. Фактический же объем продукции составил 112, 3% от прошлогоднего уровня. Определите относительный показатель реализации плана

Задача 3. Имеются следующие данные о производстве бумаги в РФ


Произведено бумаги, тыс. т

Вычислите относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения. Проверьте их взаимосвязь

Задача 4. Добыча нефти и угля в РФ во II квартале 1996г. характеризуется следующими данными:

Топливо	Объем добычи, млн. т
апрель	май	июнь
Нефть Уголь	23, 8 23, 2	25, 0 20, 2	24, 2 18, 7

Теплота сгорания нефти равна 45, 0 мДж/кг, угля - 26, 8 мДж/кг. Сделайте пересчет в условное топливо (29, 3 мДж/кг) и проведите анализ изменения совокупной добычи этих ресурсов.

.Задача 5

В апреле 1996г. прожиточный минимум для трудоспособного населения составил 419, 0 тыс. руб. в месяц на человека, для пенсионеров - 262, 5 тыс. руб., для детей - 376, 1 тыс. руб. Сделайте выводы о соотношении этих величин, используя относительные показатели сравнения.

Задача 6

.: Известно распределение работников предприятия по возрасту:

Возраст, лет	Число работников, в % к итогу
до 25	14.0
25-35	22.0
35-45	20.0
45-55	17.0
55-65	15.0
65 и старше	12.0

Определите средний возраст работника, рассчитайте моду и медиану

Задача 7

По следующим данным определите, в каком семестре уровень успеваемости студентов потока был выше:

Балл	Число студентов
1 семестр	2 семестр
" 2"
" 3"
" 4"
" 5"

Тема 5. Показатели вариации

Вариация – колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности.

Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность и ее единицы ( средний доход, умственные способности, различия получаемых оценок и многое другое). Именно вариация порождает необходимость в статистическом исследовании. Если бы все признаки (например доходы) совпадали, то отпала бы необходимость в статистическом исследовании. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построения статистических моделей, разработке материалов экспертных опросов и во многих других случаях.

Вариация существует в пространстве и во времени. Вариация в пространстве –колеблемость значений признака по отдельным территориям. Вариация во времени – изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.(срок эксплуатации, продолжительность жизни)

По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений (однородность совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений).

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Относительные рассчитываются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической или медиане.( коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение)

1. Размах вариации абсолютный

Существует для измерения расстояния между крайними точками. Его недостатки: очень низкое и очень высокое значение признака по сравнению с основной массой его значений могут быть обусловлены случайными обстоятельствами (т.е. эти признаки аномальны). Удобства – простота и наглядность.

Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. Поскольку средняя арифметическая является показателем обобщающим свойства совокупности, большинство показателей вариации основано на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц от средней.

Поскольку (сумма отклонений значений признака о средней величины равно нулю), все значения берутся по модулю.

2. Среднее линейное отклонение - отклонение первой степени -простое, (для несгруппированных данных)

Среднее линейное отклонение - взвешенное

3. дисперсия отклонения второй степени простая

взвешенная

4. среднее квадратическое отклонение простое

взвешенное

Среде квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выражается в тех же единицах измерениях, что и признак.

Между средним линейным и средним квадратическим отклонением существует следующее соотношение при условии, что фактическое распределение близко к нормальному. Исчисление среднего квадратического отклонения для явных несимметричных распределений не имеет смысла.

Относительные показатели вариации

Коэффициент осцилляции

Линейный коэффициент вариации или

Коэффициент вариации

Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации. С помощью его можно характеризовать совокупность: если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений близких к нормальному, то совокупность считается однородной.

ВИДЫ ДИСПЕРСИЙ И ПРАВИЛО ИХ СЛОЖЕНИЯ

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных дисперсий.

Виды: общая, межгрупповая и внутригрупповую.

Общая дисперсия

Межгрупповая характеризует систематическую вариацию, т.е. различие в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. , где и - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Существует закон, связывающий три вида дисперсий: - правило сложения дисперсий. Т.Е общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсии, проявляющейся под действием всех факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака. Зная две дисперсии можно определить третью или проверить правильность расчета третьего вида.

Данное правило широко применяется при исчислении показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации Коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленного вариацией группировочного признака. Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации называется Эмпирическое корреляционное отношение Он показывает влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака (изменяется от 0 до1, чем ближе к 1тем существеннее связь).

Дисперсия альтернативного признака.

Альтернативные признаки – признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Работники торговли подразделяются на мужчин и женщин, т.е. в данном случае это взаимоисключающие варианты.

Если возникает необходимость измерить вариацию альтернативного признака, то применяют следующее обозначение: 1- если интересующий нас признак в наличие; 0 – если данный признак отсутствует.; долю единиц, обладающих данным признаком -p; долю единиц не обладающим признаком -q.

Среднее значение альтернативного признака , т.к. p+q=1 (сумма долей, обладающих и не обладающих признакам равна единице)

Дисперсия альтернативного признака: , т.к.

, т.к. p+q=1 подставим вместо 1-p – q

Т.О. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц обладающих данным признаком и доли единиц им не обладающих.

ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАКОНОМЕРНОСТИ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Одной из важных задач анализа рядов распределения является выявление закономерностей распределения, определения ее характера и количественного выражения. Кроме рассмотренных ранее показателей вариации важной характеристикой является момент распределения.

Момент распределения (М_к) называется средняя арифметическая из отклонений значений признака х от некоторой постоянной величины а

Общая формула момента распределения:

Если а=0, то моменты называются начальными:, причем начальный момент первого порядка – средняя арифметическая

Если постоянная величина , то получим центральный момент

-первого порядка,

- второго порядка, причем это дисперсия.

Нормированные моменты: отношение центрального момента К-ого порядка к К-ой степени средних квадратических отклонений -Нормированные моменты- величины безразмерные, т.к. не изменяются ни при изменении масштаба, не при изменении отсчета., они применяются для расчета асимметрии в совокупности . отрицательное значение говорит о левосторонней ассиметрии. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, зависящей от объема наблюдений:

- асимметрия существенна, - асимметрия не существенна, ее наличие может быть объяснено влиянием различных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается эксцесс (островершинность) , островершинное распределение, плосковершинное распределение.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ВАРИАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНКИ РИСКА

Под риском понимают некоторую возможную потерю, вызванную наступлением случайных неблагоприятных событий.

Заметим, что в некоторых областях деятельности риск понимается как вероятность наступления некоторого неблагоприятного события. Чем выше эта вероятность, тем выше риск. Такое понимание риска оправдано в тех случаях, когда событие может наступить, а может и нет (банкротство, несчастный случай, крушение, смерть и т.д.) Естественной реакцией на наличие риска является стремление компенсировать его с помощью так называемых рисковых премий, которые выступают в виде различных надбавок ( к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т.д.), выступающей в виде «платы за риск».

В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто измеряется с помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения. Обе характеристики измеряют колебания дохода( расхода). Чем они больше, тем выше рассеивание показателей дохода (расхода) вокруг средней, и следовательно степень риска.

Напомним, что при близости распределения к нормальному можно использовать средне квадратическое отклонение для определения границ, в которых следует ожидать значение случайной переменной.

Если речь идет о страховании жизни, то согласно договору страхования, страхователь вперед уплачивает некоторую сумм страховщику. В свою очередь он имеет право получить страховую сумму S после наступления этого события. Если вероятность этого события q заранее известна, то теоретически премия Р определяется - это и нетто-премия (без учета нагрузки).

Один из приемов сокращения риска, применяемый на практике – диверсификация, под которой понимается распределение общей суммы вложений между несколькими объектами. Диверсификация – общепринятое средство сокращения любого риска. С увеличением числа элементов портфеля уменьшается общий размер риска. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление риском получает надежное основание, а последствия диверсификации поддаются анализу с привлечением методов математической статистики.

Пример варианта контрольной работы

Методические указания

Исследование вариации является составным элементом статистического анализа, позволяющим оценить колебания значений изучаемого признака, однородность совокупности по данному признаку, взаимосвязь его с другими признаками. Показатели вариации служат критерием типичности рассчитанных по совокупности средних величин, используются в определении ошибок выборочных характеристик.

При изучении данной темы необходимо обратить особое внимание на расчет основных показателей вариации - дисперсии , среднего квадратического отклонения среднего линейного отклонения , коэффициента вариации ( ) - по первичным и сгруппированным данным (рядам распределения). Во втором случае применяются не простые, а взвешенные формулы соответствующих показателей.

Рассмотрим вычисление показателей вариации на следующем примере:

Таблица

Распределение предприятий торговли района по размеру торговой площади

Группы предприятий по размеру торговой площади, м²	Число пред- приятий,	Середина интервала,

до 100
100-200			629О
200-300
300-400
400 и более
ИТОГО		X

Заполнению последних четырех граф данной таблицы предшествовал расчет средней величины изучаемого признака, выполненный по формуле средней арифметической взвешенной:

Вычислим показатели вариации:

Статистическую совокупность можно считать однородной по рассматриваемому признаку. если коэффициент вариации не превышает 33%. Таким образом, исследуемая совокупность является неоднородной, поэтому при рассмотрении исходных данных необходимо решить вопрос об исключении аномальных наблюдений (если такие имеются) или разбить совокупность на несколько групп, а затем определить показатели вариации у вновь образованных совокупностей.

При формулировке выводов о степени вариации следует обратить внимание на то, что коэффициент вариации является относительной мерой колеблемости и может приводить к результатам, противоположным полученным на основе абсолютных показателей вариации. Так. например, если в первом цехе дисперсия выработки деталей работниками =9 при средней выработке -140, а во втором цехе эти показатели соответственно =11 и =170, то абсолютная вариация будет сильнее во втором цехе ( ), а относительная в первом и

Наибольшую трудность в изучении данной темы представляет
расчет общей дисперсии по правилу сложения дисперсий: , где - средняя из внутригрупповых дисперсий , а -межгрупповая дисперсия, , где и - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам;

Правило сложения дисперсий может быть применимо только в том случае, когда совокупность разбита на две или более группы по какому-либо факторному признаку, предположительно оказывающему влияние на вариацию исследуемого признака.

Вариация признака внутри групп определяется воздействием всех прочих факторов и отражается в величине средней из внутригрупповых дисперсий. Тесноту связи между факторным и результативным признаками оценивают с помощью эмпирического корреляционного отношения . Данный показатель может принимать значения от 0 до 1, чем ближе к единице тем сильнее связь.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии - эмпирический коэффициент детерминации , он показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленного вариацией группировочного признака.

На следующем условном примере исследуем зависимость между собственными и привлеченными средствами коммерческих банков региона:

Таблица 9

Банк	Собственные средства, млн. руб.	Привлеченные средства, млн. руб

Произведем группировку банков, выделив две группы по величине собственных средств: до 100 млн. руб. и свыше 100 млн. руб., и проанализируем влияние данного группировочного признака (фактора) на размер привлеченных средств. Первая группа объединит коммерческие банки N-N 1, 2, 5, 7, 8, 9, во вторую группу войдут N-N 3, 4, 6. 10.

Группы банков по величине собственных средств	Банк	Собственные средства, млн. руб.	Привлеченные средства, млн. руб
До 100 млн.руб.





Более 100 млн.руб

Расчет эмпирического корреляционного отношения состоит из нескольких этапов:

1) рассчитываем групповые средние и общую среднюю по результативному признаку - привлеченные средства (i - номер группы, ] - номер единицы в группе):

2) рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

3) вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

4)определяем межгрупповую дисперсию:

5) Находим общую дисперсию по правилу сложения

6)рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор, положенный в основание группировки (собственные средства), существенно влияет на размер привлеченных средств

Задача 1. В целях контроля качества выпускаемых предприятием электроламп на стенде выполнены замеры продолжительности горения 500 ламп, которые привели к следующим результатам:

Продолжительность горения, час.
Число ламп, шт.

Определите: 1) размах вариации; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) среднее линейное отклонение; 5) коэффициент вариации

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒