ПОНЯТИЕ И АКТУАЛЬНОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

ВВЕДЕНИЕ

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание исследуемого объекта посредством систем линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, систем неравенств, определенного интеграла, многочлена с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.

После того, как математическая модель составлена, переходят к постановке вычислительной задачи. При этом устанавливают, какие характеристики математической модели являются исходными (входными)данными, какие – параметрами модели, а какие – выходными данными. Проводится анализ полученной задачи с точки зрения существования и единственности решения.

На следующем этапе выбирается метод решения задачи. Во многих конкретных случаях найти решение задачи в явном виде не представляется возможным, так как оно не выражается через элементарные функции. Такие задачи можно решить лишь приближенно. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. Вычислительные методы, как правило, реализуются на ЭВМ. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи.

Затем для реализации выбранного вычислительного метода составляется алгоритм и программа для ЭВМ. Современному инженеру важно уметь преобразовать задачу к виду, удобному для реализации на ЭВМ и построить алгоритм решения такой задачи.

В настоящее время широко используются как пакеты, реализующие наиболее общие методы решения широкого круга задач (например, Mathcad,
MatLAB), так и пакеты, реализующие методы решения специальных задач.

Результаты расчета анализируются и интерпретируются. При необходимости корректируются параметры метода, а иногда математическая модель, и начинается новый цикл решения задачи.

ПОНЯТИЕ И АКТУАЛЬНОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Изучение, описание и прикладное применение электродинамических явлений и процессов тепломассопереноса составляют значительную часть среди профессиональных задач в области электроэнергетики и электротехники. В первую очередь это связано с тем, что данные процессы и явления имеют огромное прикладное значение в данной области. Поэтому численное решение задач электродинамики и тепломассопереноса, а затем последующая реализация этих методов в виде программ для компьютерной техники играют важную роль в развитии электроэнергетической и электротехнической отраслей.

Задачи электродинамики

Электродинамика лежит в основе любого электроэнергетического или электротехнического оборудования, так как работа этого оборудования напрямую зависит от протекания электрического тока и ряда электромагнитных параметров, а часто и с их быстрыми изменениями и движениями. Электродинамика также имеет огромное значение в технике и является основой радиотехники, различных отраслей связи и радио.

Электродинамика изучает электромагнитное поле в общем случае и его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд. Предмет электродинамики включает связь электрических и магнитных явлений, электромагнитное излучение, электрический ток и его взаимодействие с электромагнитным полем. Любое электрическое и магнитное взаимодействие между заряженными телами рассматривается в настоящее время как осуществляющееся посредством электромагнитного поля, и, следовательно, также является предметом электродинамики.

Классическая электродинамика описывает только непрерывные свойства электромагнитного поля посредством системы уравнений Максвелла.

Основными уравнениями, описывающими поведение электромагнитного поля и его взаимодействие с заряженными телами, являются:

- уравнения Максвелла, определяющие поведение свободного электромагнитного поля в вакууме и среде, а также генерацию поля источниками.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

(1.1)

Также уравнения Максвелла имеют интегральную форму записи

(1.2)

где , - векторы напряженности электрического и магнитного полей; , - магнитная и диэлектрическая постоянные; - вектор плотности тока смещения; - объемная плотность электрического заряда; - электрический ток, проходящий через поверхность ; - электрический заряд в объеме, ограниченном поверхностью ; - замкнутый контур, ограничивающий поверхность [9].

Среди этих уравнений можно выделить [9]:

а) закон Гаусса для электрического поля, определяющий генерацию электростатического поля зарядами

(1.3)

б) закон Гаусса для магнитного поля, определяющий замкнутость силовых линий магнитного поля

(1.4)

в) закон индукции Фарадея, определяющий генерацию электрического поля переменным магнитным полем

(1.5)

г) закон Ампера-Максвелла, определяющий генерацию магнитного поля движущимися зарядами и переменным электрическим полем

(1.6)

- выражение для силы Лоренца, определяющее силу, действующую на заряд, находящийся в электромагнитном поле

(1.7)

где - точечный заряд; - вектор скорости точечного заряда; - вектор магнитной индукции;

- закон Джоуля - Ленца, определяющий величину тепловых потерь в проводящей среде с конечной проводимостью, при наличии в ней электрического поля

(1.8)

где - электрическая проводимость среды.

Частными уравнениями, имеющими особое значение, являются:

- закон Кулона, определяющий электростатическое взаимодействие (силу или потенциальную энергию) двух точечных зарядов

(1.9)

где , - точечные заряды; - расстояние между зарядами; - радиус-вектор;

- закон Био-Савара-Лапласа, описывающий порождение магнитного поля током

(1.10)

- закон Ампера, определяющий силу, действующую на элементарный ток, помещённый в магнитное поле

(1.11)

- теорема Пойнтинга, выражающая собой закон сохранения энергии в электродинамике

(1.12)

- закон сохранения заряда

(1.13)

Также прикладное значение имеет электростатика, одна из областей электродинамики, которая описывает свойства статического электрического поля и его взаимодействия с электрически заряженными телами, которые также неподвижны или движутся с достаточно малыми скоростями [9].

Вышеописанные законы электродинамики в той или иной мере являются основой некоторых задач, которые наиболее часто встречаются при осуществлении профессиональной деятельности. К таким задачам, в частности относятся [3]:

- определение распределения электромагнитных волн в силовых кабелях;

- определение распределения электрических потенциалов в проводниках;

- расчет трансформаторов;

- расчет электромеханического оборудования;

- нагрев проводников под действием электрического тока;

- расчет электротехнических элементов;

- расчет электрических цепей;

- определение узлов стоячей электромагнитной волны т.д.

Задачи тепломассопереноса

От характера протекания процессов тепломассопереноса, от уровня температуры и особенностей формирования ее распределений в элементах теплонапряженных элементов в решающей степени зависит экономичность электротехнического или электротехнологического процесса, массоемкость, габариты, эксплуатационные характеристики и ресурс оборудования.

Учет теплового состояния электроэнергетического и электротехнического оборудования, столь важен, что его определение с необходимостью производят перед конструктивным расчетом, а также для нахождения рабочих параметров, эксплуатационных характеристик и пр.

К примеру, при недостаточном охлаждении электрических элементов они перегреваются, механические характеристики их материала вследствие этого ухудшаются, что может привести к их разрушению.

Поэтому решение задач тепломассопереноса является важной ступенью при проектировании любого электрического оборудования.

Процесс тепломассопереноса описывается следующими уравнениями

(1.14)

где – теплоемкость влажного тела; – плотность сухого материала, кг/м³; – температура тела; – теплоемкость влажного тела; – критерий фазового перехода; – удельная теплота парообразования; – влагосодержание тела; – коэффициент диффузии влаги; – относительный коэффициент термодиффузии [8, 10].

Среди этих уравнений можно выделить

- уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры в среде в зависимости от времени

(1.15)

где - источник (сток) теплоты, характеризуемый, к примеру, действием электрического тока [8, 10];

- уравнение массопроводности, описывающее распределение вещества в среде в зависимости от времени

(1.16)

где - коэффициент диффузии; - источник (сток) вещества, характеризуемый, к примеру, фазовыми превращениями [10].

На основе этих уравнений можно выделить наиболее часто встречающиеся задачи [1]:

- распределение температуры и массы внутри твердых тел и в неподвижных жидкостях (газах);

- распределение температуры и массы в движущейся жидкости (газе);

- распространение теплоты и распределение температуры при фазовых переходах.

- расчет нагрева электроэнергетического и электротехнического оборудования;

- определение времени нагрева;

- определение тепловых потерь;

- расчет процессов сушки и т.д.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что для каждой задачи существует множество методов решения. В следующей главе рассматриваются наиболее применяемые численные методы для решения несложных задач, а именно решение нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, задач интерполирования и нахождения интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Эти методы применяются для расчетов электрических (магнитных) цепей и распределения потенциалов в проводнике, тепловых (массовых) потерь и распределения теплоты (массы) в различных средах [1, 4].

Метод Зейделя

Модификацией метода простой итерации можно считать метод Зейделя.

В методе простой итерации на -ой итерации значения , вычисляются подстановкой в правую часть (6) вычисленных на предыдущей итерации значений. В методе Зейделя при вычислении используются значения , , , уже найденные на -ой итерации, а не , , …, , как в методе простой итерации, т.е. -е приближение строится следующим образом:

(9)

Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

и .

Матричная запись расчетных формул (9) имеет вид: . Так как , точное решение исходной системы удовлетворяет равенству: .

Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

. (10)

Неравенство (10) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы любая норма матрицы был меньше единицы.

Если выполнено условие (10), то справедлива следующая оценка погрешности:

, (11)

где – норма матрицы .

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , итерационный процесс следует закончить, как только на -ом шаге выполнится неравенство: . Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство , где . Если выполняется условие

, то можно пользоваться более простым критерием окончания:

Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод простой итерации. Однако возможны ситуации, когда метод простой итерации сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Сравнение с предыдущим примером показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.

Постановка задачи

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных требуется решить систему нелинейных уравнений:

, иначе .

В отличие от решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.

В общем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.

Сходимость метода

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение и приведенной системы.

Тогда если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ;

2) начальные приближения , и все последующие приближения , принадлежат ;

3) в выполнены неравенства или

неравенства , то процесс последовательных приближений сходится к решению , .

Оценка погрешности -го приближения определяется неравенством:

где – наибольшее из чисел и , входящих в эти неравенства.

Сходимость метода считается хорошей, если ; при этом . Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0, 001.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.

Рис. 12

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .

Получим систему уравнений

или , .

Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:

, .

Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .

Её можно переписать в развернутом виде:

Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит

. Рассмотрим частные случаи и .

Линейная аппроксимация .

;

, .

Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация .

, .

Или в развёрнутом виде

Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени : .

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного , где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

Действительно, . При числитель выражения равен 0. По аналогии получим:

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Если функция непрерывно дифференцируема до -го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку .

Постановка задачи Коши

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: .

Решением этого уравнения является дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. На рис. 13 приведен график решения исходного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рис. 13

Производную в каждой точке можно геометрически интерпретировать как тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: .

Исходное уравнение определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие: , где – некоторое заданное значение аргумента , а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения , т. е. для . Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна при , и удовлетворяет условию Липшица: , где некоторая постоянная, а – произвольные значения. Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши для .

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента . Точки называются узлами сетки, а величина – шагом сетки. Часто рассматривают равномерныесетки, для которых шаг постоянен, . При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки соответствуют приближенные значения функции в узлах сетки .

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть – решение задачи Коши. Назовем погрешностью численного метода функцию , заданную в узлах сетки . В качестве абсолютной погрешности примем величину .

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся, если для него при . Говорят, что метод имеет -ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка , – константа, .

Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши

на отрезке . Выберем шаг и построим сетку с системой узлов . В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции в узлах сетки: . Заменив производную конечными разностями на отрезках , , получим приближенное равенство: , , которое можно переписать так: , .

Эти формулы и начальное условие являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке заменяется касательной , проведенной в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям:

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности: , где – длина отрезка . Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции . Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть – приближения, полученные с шагом , а – приближения, полученные с шагом . Тогда справедливо приближенное равенство:

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагом и вычислить величину, стоящую справа в последней формуле, т.е. . Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. , то приближенное равенство имеет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью . Для этого нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение , . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Для метода Эйлера это условие примет вид: . Приближенным решением будут значения , .

Метод Рунге – Кутты

Метод Рунге – Кутты является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутты.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с начальным условием .

Как и в методе Эйлера, выберем шаг и построим сетку с системой узлов .

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке .

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутты четвертого порядка точности:

, ,

, .

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутты затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутты имеет четвертый порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутты четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .

Приближенным решением будут значения .

ВВЕДЕНИЕ

12 3 4 Следующая ⇒