Разбор задач контрольной работы № 4

Тема 1. Производная.

Тема 2: Исследование функций.

Задача 1. Вычислить производные следующих функций

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Вычислим производную функции .

.

б) Вычислим производную функции .

.

в) Вычислим производную функции

.

г) Вычислим производную функции заданной параметрически

, где

и

.

Тогда .

 

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону м. Найти скорость и ускорение в момент сек. Определить в какой момент скорость движения точки будет равна нулю.

Решение.

Скорость движения точки выражается равенством . В момент сек скорость вычисляется .

Ускорение выражается равенством . В момент сек. .

Скорость движения точки равна нулю если . Корень уравнения не имеет смысла. Таким образом скорость движения точки равна нулю в начальный момент и через 5 сек. после начала движения.

 

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

.

Решение.

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции: .

3) Свойствами чётности или нечетности функция не обладает т.к. .

4) График функции проходит через начало координат ;

при и при .

5) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность.

Критическими точками являются точки .

т.е. функция возрастает при ;

т.е. функция убывает при .

Таким образом функция имеет максимум при и минимум при .

6) Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость и точки перегиба.

.

Критическими точками являются точки .

т.е. график функции является выпуклым при и т.е. график функции является вогнутым при . Точки перегиба отсутствуют.

7) Определим асимптоты графика функции.

а) Точкой разрыва функции является точка .

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва.

Так как и , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где и .

Таким образом наклонной асимптотой является прямая .

Построим график данной функции.

 

 

Задача 4. Приближенно решишь уравнения. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить с точностью 0, 001 методом Ньютона (методом касательных) .

Решение.

Вычислим производную функции ; . т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а значит функция монотонно возрастает при всех . Таким образом данное уравнение имеет единственный действительный корень. Отделим этот корень аналитически, для этого составим таблицу

 

	–	+

 

Итак уравнение имеет единственный действительный корень . Уточним корень методом Ньютона (методом касательных).

Критерием выбора начального значения аргумента служит условие /

Найдем вторую производную данной функции . Так как при , то за начальное приближение примем ( ). Расчет производим по формуле . Продолжаем вычисления до тех пор, пока не станет меньше 0, 001. Составим таблицу

		0, 4	4, 4	0, 090909	0, 909091
	0, 909091	0, 060406	4, 054545	0, 014898	0, 894193
	0, 894193	0, 009172	3, 997932	0, 002294	0, 891899
	0, 891899	0, 001389	3, 989214	0, 000348	0, 89155
	0, 89155	0, 00021	3, 987892	5, 27E-05	0, 891498

 

Ответ: .

 

Разбор задач контрольной работы № 5

Тема 3. Неопределённый интеграл.

Тема 4. Определенный интеграл.

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) . Для вычисления данного интеграла выполним замену переменных и . Тогда .

б) . Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям . Пусть функция и дифференциал . Найдем . Тогда .

в) . Разложим подынтегральную рациональную дробь в сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами . Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты выполним преобразования:

Сравнивая полученную дробь с исходной, составим и решим систему уравнений . Тогда

,

г) . Для вычисления этого интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку . При этом . Тогда

.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл.

а) ; б) .

Решение.

а) . Пусть , тогда , и . Вычислим интеграл .

б) . Применим формулу интегрирования по частям. Для этого обозначим , откуда . Тогда .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

при .

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Корни этого уравнения .

Вычислим площадь фигуры, расположенной в первой четверти

.

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость а) ; б) .

Решение.

а) . Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, значит

.

б) . Так как подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , то вычисляем несобственный интеграл второго рада

. Интеграл расходится.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I I. Цели, задачи, результаты выполнения индивидуального проекта
2. I. Автоматизации функциональных задач в государственном и региональном управлении.
3. II. Основные задачи управления персоналом.
4. II. Решить следующие ниже финансовые задачи на листе “Задачи”.
5. II. Цели, задачи и предмет деятельности
6. III. Задачи, решаемые организацией с помощью ИСУ и ИТУ.
7. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ РАЙОННОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОФСОЮЗА
8. III. Экономико-управленческие задачи производственной практики
9. IV. Решить следующую задачу.
10. V. Представление и проверка контрольной работы
11. А. П. Петрова. «Сценическая речь» - Пути воплощения сверхзадачи
12. АДМИРАЛ РЕШАЕТ ТРУДНУЮ ЗАДАЧУ