Задачи для контрольных заданий

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения по направлению подготовки электроэнергетика и электротехника, профиль: электроснабжение. Текст содержит варианты трех контрольных работ, которые необходимо самостоятельно выполнить студентам во втором семестре, разбор задач, аналогичных предложенным в контрольных. Кроме того, в пособии приведен справочный теоретический материал, необходимый для выполнения контрольных заданий. Номер варианта контрольной работы определяется в соответствии с последней цифрой шифра студента – номера его зачетной книжки. Каждая работа выполняется в отдельной тетради, задачи должны быть представлены в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе. Компьютерное оформление работ на проверку не принимается.

Задачи для контрольных заданий

Контрольная работа № 4

Тема 1. Производная.

Тема 2. Исследование функций.

Задача 1. Вычислить производные следующих функций

1.1 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.2 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.3 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.4 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.5 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.6 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.7 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.8 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.9 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.10 а) ; б) ; в) ;

г) .

 

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение в момент . Определить в какой момент скорость движения точки будет равна нулю.

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

2.5 .

2.6 .

2.7 .

2.8 .

2.9 .

2.10 .

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

3.1 .

3.2 .

3.2 .

3.4 .

3.5 .

3.6 .

3.7 .

3.8 .

3.9 .

3.10 .

Задача 4. Приближенно решишь уравнения. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить методом Ньютона (методом касательных)

4.1

4.2 .

4.3 .

4.4 .

4.5 .

4.6 .

4.7 .

4.8 .

4.9 .

4.10

 

Контрольная работа № 5

 

Тема 3. Неопределённый интеграл.

Тема 4. Определенный интеграл.

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.

1.1 а) ; б) ;

в) ; б) .

1.2 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.3 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.4 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.5 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.6 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.7 а) ; б ) ;

в) ; г) .

1.8 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.9 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.10 а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 2. Вычислить определенный интеграл.

2.1 а) ; б) .

2.2 а) ; г) .

2.3 а) ; б) .

2.4 а) ; б) .

2.5 а) ; б) .

2.6 а) ; б) .

2.7 а) ; б) .

2.8 а) ; б) .

2.9 а) ; б) .

2.10 а) ; б) .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

3.1 .

3.2 .

3.3 .

3.4 и .

3.5 и .

3.6 .

3.7 .

3.8 .

3.9 и .

3.10 и .

 

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

4.1 а) ; б) .

4.2 а) ; б) .

4.3 а) ; б) .

4.4 а) ; б) .

4.5 а) ; б) .

4.6 а) ; б) .

4.7 а) ; б) .

4.8 а) ; б) .

4.9 а) ; б) .

4.10 а) ; б) .

 

Контрольная работа № 6

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Тема 6. Дифференциальные уравнения.

Задача 1. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции . Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

1.1 , .

1.2 , .

1.3 , .

1.4 , .

1.5 , .

1.6 , .

1.7 , .

1.8 , .

1.9 , .

1.10 , .

 

Задача 2. Найти линейную зависимость между величинами где . Параметры вычислить методом наименьших квадратов.

2.1

X
	4, 2	2, 8	5, 7	10, 5	13, 2	20, 5	33, 4	46, 9	60, 1	71, 2

 

2.2

X

2.3

X
	4, 2	3, 2	2, 9	2, 5	2, 45	2, 15	2, 00	1, 75	1, 9	1, 6

 

2.4

X
	4, 4	5, 1	5, 4	6, 7	6, 2	7, 5	7, 7	9, 2	9, 9	11, 5

 

2.5

X
	4, 9	6, 5	7, 1	7, 9	8, 1	8, 9	8, 6	9, 1	9, 5	9, 7

 

2.6

X

 

 

2.7

X

 

2.8

X
	- 2	- 12	- 15	- 19	- 35	- 35	- 47	- 55	- 60	- 69

 

2.9

X

 

2.10

X
	6, 8	5, 8	5, 0	4, 3	3, 6	3, 6	3, 1	2, 9	2, 5	2, 3

 

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

3.1 а) ; б) .

3.2 а) ; б) .

3.3 а) ; б) .

3.4 а) ; б) .

3.5 а) ; б) .

3.6 а) ; б) .

3.7 а) ; б) .

3.8 а) ; б) .

3.9 а) ; б) .

3.10 а) ; б) .

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения второго порядка.

4.1 .

4.2 .

4.3

4.4 .

4.5 .

4.6 .

4.7 .

4.8 .

4.9 .

4.10 .

 

 

Разбор задач контрольной работы № 4

Тема 1. Производная.

Тема 2: Исследование функций.

Задача 1. Вычислить производные следующих функций

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Вычислим производную функции .

.

б) Вычислим производную функции .

.

в) Вычислим производную функции

.

г) Вычислим производную функции заданной параметрически

, где

и

.

Тогда .

 

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону м. Найти скорость и ускорение в момент сек. Определить в какой момент скорость движения точки будет равна нулю.

Решение.

Скорость движения точки выражается равенством . В момент сек скорость вычисляется .

Ускорение выражается равенством . В момент сек. .

Скорость движения точки равна нулю если . Корень уравнения не имеет смысла. Таким образом скорость движения точки равна нулю в начальный момент и через 5 сек. после начала движения.

 

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

.

Решение.

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции: .

3) Свойствами чётности или нечетности функция не обладает т.к. .

4) График функции проходит через начало координат ;

при и при .

5) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность.

Критическими точками являются точки .

т.е. функция возрастает при ;

т.е. функция убывает при .

Таким образом функция имеет максимум при и минимум при .

6) Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость и точки перегиба.

.

Критическими точками являются точки .

т.е. график функции является выпуклым при и т.е. график функции является вогнутым при . Точки перегиба отсутствуют.

7) Определим асимптоты графика функции.

а) Точкой разрыва функции является точка .

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва.

Так как и , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где и .

Таким образом наклонной асимптотой является прямая .

Построим график данной функции.

 

 

Задача 4. Приближенно решишь уравнения. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить с точностью 0, 001 методом Ньютона (методом касательных) .

Решение.

Вычислим производную функции ; . т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а значит функция монотонно возрастает при всех . Таким образом данное уравнение имеет единственный действительный корень. Отделим этот корень аналитически, для этого составим таблицу

 

	–	+

 

Итак уравнение имеет единственный действительный корень . Уточним корень методом Ньютона (методом касательных).

Критерием выбора начального значения аргумента служит условие /

Найдем вторую производную данной функции . Так как при , то за начальное приближение примем ( ). Расчет производим по формуле . Продолжаем вычисления до тех пор, пока не станет меньше 0, 001. Составим таблицу

		0, 4	4, 4	0, 090909	0, 909091
	0, 909091	0, 060406	4, 054545	0, 014898	0, 894193
	0, 894193	0, 009172	3, 997932	0, 002294	0, 891899
	0, 891899	0, 001389	3, 989214	0, 000348	0, 89155
	0, 89155	0, 00021	3, 987892	5, 27E-05	0, 891498

 

Ответ: .

 

Решение.

а) . Для вычисления данного интеграла выполним замену переменных и . Тогда .

б) . Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям . Пусть функция и дифференциал . Найдем . Тогда .

в) . Разложим подынтегральную рациональную дробь в сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами . Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты выполним преобразования:

Сравнивая полученную дробь с исходной, составим и решим систему уравнений . Тогда

,

г) . Для вычисления этого интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку . При этом . Тогда

.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл.

а) ; б) .

Решение.

а) . Пусть , тогда , и . Вычислим интеграл .

б) . Применим формулу интегрирования по частям. Для этого обозначим , откуда . Тогда .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

при .

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Корни этого уравнения .

Вычислим площадь фигуры, расположенной в первой четверти

.

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость а) ; б) .

Решение.

а) . Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, значит

.

б) . Так как подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , то вычисляем несобственный интеграл второго рада

. Интеграл расходится.

 

Тема: Производная.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1. Задача о скорости, движущейся точки.

Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. – путь, пройденный точкой за время , – некоторый момент, с которого начато наблюдение. – некоторый промежуток времени, в течении которого точка пройдет отрезок . .Отношение называется средней скоростью точки за время . Чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент .

Определение: Величина называется мгновенной скоростью точки в момент , если .

Задача 2. Пусть на координатной плоскости задана кривая уравнением . Точки и принадлежат кривой. Абсцисса точки равна , ордината равна . Через точки и проведем прямую. Она является секущей к данной кривой. Угловой коэффициент прямой , где .Предположим, что , т.е. точка приближается к точке . Прямая стремится занять некоторое предельное положение – называемое касательной.

Определение: Касательной к кривой в точке называется прямая угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей .

Определение производной.

Пусть функция определена на интервале . Аргументу дадим приращение : . Тогда приращение функции равно . Составим соотношение .

Определение: Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то этот предел называется производной функции в данной точке x. .

Действие нахождения производной называется дифференцированием; функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке. Если существует предел слева (или справа), то он называется левой (или правой) производной. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке интервала. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема на интервале и имеет правую производную в точке и левую производную в точке .

Из рассмотренных выше задач следует:

Задача 1: Мгновенная скорость есть производная пути по времени, - механический смысл производной.

Задача 2: Угловой коэффициент касательной к кривой в точке есть значение производной в этой точке. Уравнение касательной:

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Следствие: Если функция разрывна в некоторой точке, то в этой точке она не имеет производной.

Обратное утверждение не верно: функция непрерывная в некоторой точке может не иметь в этой точке производной.

Пример:

Так как предел не существует, следовательно, производная тоже не существует.

Правила дифференцирования.

Пусть и дифференцируемые на интервале функции, тогда выполняются свойства.

Свойство 1: .

Свойство 2: .

Свойство 3: .

Свойство 4: Пусть дана сложная функция , где и функция имеет производную а точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то производная сложной функции находится по формуле .

Таблица производных.

1. , .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Дифференциал.

Пусть функция дифференцируема на отрезке