Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Определение: Дифференциальные уравнения – го порядка называется линейным, если оно линейно относительно функции и ее производных , то есть имеет вид . В дальнейшем будем считать, что являются непрерывными функциями, причем . Если , то уравнение называется неоднородным или с правой частью, в противном случае однородным или без правой части.

Рассмотрим основные свойства однородных уравнений на примере уравнений второго порядка .

Теорема 1: Если и два какие – ни будь частных решения дифференциального уравнения, то их линейная комбинация тоже является решением данного дифференциального уравнения.

Определение: Пусть имеем конечную систему функций , определенную на некотором интервале . Функции называются линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные не все равные 0, такие что для всех значений из этого интервала справедливо тождество . Если это тождество выполняется только при , то указанные функции называются линейно независимыми.

Пример 1: Система функций является линейно независимой. Пример 2: при линейно независимы для .

Пример 3: линейно независимы для .

Определение: Определитель называется определитель Вронского.

Теорема 2: Если функции являются линейно зависимыми на интервале , то на этом интервале.

Для системы функций можно составить определитель Вронского , обладающий аналогичным свойством.

Теорема 3: Если определитель Вронского составленный из решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка не равен нулю при некотором значении , то он не равен нулю ни при каких значениях . То есть

Следствие: Если .

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть дано уравнение , где . Будем искать решение данного уравнения в виде . Подставляя в данное уравнение, получим характеристическое уравнение . Решая его, получаем различные решения дифференциального уравнения.

1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные , то две функции и являются линейно независимыми решениями данного дифференциального уравнения. Тогда их линейная комбинация есть общее решение данного дифференциального уравнения.

2. Если корни характеристического уравнения действительные и совпавшие , то две функции и являются линейно независимыми решениями данного дифференциального уравнения. Тогда их линейная комбинация есть общее решение данного дифференциального уравнения.

3. Если корни характеристического уравнения комплексные сопряженные , то две функции и являются линейно независимыми решениями данного дифференциального уравнения. Тогда их линейная комбинация есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема: Общее решение дифференциального уравнения может быть найдено, как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения , т.е. .

Уравнения со специальной правой частью.

Если правая часть имеет специальный вид , то частное решение неоднородного уравнения можно подобрать по виду правой части.

, где , – многочлены с неопределенными коэффициентами а – кратность характеристического корня .

Рассмотрим частные случаи правой части.

1. Пусть . Тогда , где – кратность характеристического корня , а – многочлен с неизвестными коэффициентами. Для определения их используют метод «неопределенных коэффициентов».

2. Пусть . Тогда где – кратность характеристического корня , а – многочлен с неизвестными коэффициентами.

3. Пусть . Тогда

, где , – многочлены с неопределенными коэффициентами а – кратность характеристического корня .

Билиографический список

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов: [в 2 т.] Т. 1/ Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - Москва: Интеграл-Пресс, 2009. - 415 с.: ил.. -. - ISBN 5-89602-012-0: 185.40

2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов: [в 2 т.] Т. 2/ Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - Москва: Интеграл-Пресс, 2009. - 544 с.: ил.. -. - ISBN 5-89602-013-9: 227.80

3. Высшая математика в упражнениях и задачах: [учеб. пособие для вузов]: в 2 ч. Ч. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. - 7-е изд., испр. - Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009. - 368 с.: ил.. - На обл.: С решениями. - ISBN 978-5-488-02448-9: 154.33

4. Высшая математика в упражнениях и задачах: [учеб. пособие для вузов]: в 2 ч. Ч. 2/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. - 7-е изд., испр. - Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009. - 448 с.: ил.. - На обл.: С решениями. - ISBN 978-5-488-02449-6: 134.97

5. Письменный, Д. Конспект лекций по высшей математике: полн. курс/ Дмитрий Письменный. - 6-е изд., испр. - Москва: Айрис-Пресс, 2007. - 602, [1] с.: ил.. - ( Высшее образование). -. - ISBN 978-5-8112-2928-4: 180.00

Содержание

1. Введение ……………………………………………3

2. Задания контрольных работ………………………..3

3. Разбор заданий контрольной работы № 1………..14

4. Разбор заданий контрольной работы № 2………..21

5. Разбор заданий контрольной работы № 3………..26

6. Справочный теоретический материал…………….31

7. Литература………………………………………….54

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56