Разбор задач контрольной работы № 6.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Тема 6. Дифференциальные уравнения.

Задача 1. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции . Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

, .

Решение. Вычислим частные производные заданной функции

Полный дифференциал: .

Уравнения касательной плоскости и нормали находятся соответственно по формулам

и .

Напишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Так как , то уравнение касательной плоскости имеет вид или , а уравнение нормали .

Задача 2. Найти линейную зависимость между величинами где . Параметры вычислить методом наименьших квадратов.

X
	5, 2	4, 2	3, 9	3, 5	3, 45	3, 15	3, 00	2, 75	2, 9	2, 6

Решение. Изобразим зависимость на рисунке1.

Для того, чтобы найти коэффициенты линейной зависимости составим и решим систему уравнений:

Для решения системы используем метод Крамера

, , . Тогда .

Таким образом заданная линейная зависимость определяется уравнением

На рисунке 2 изображено соответствие найденной линейной зависимости и опытных данных.

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

а) .

Решение. Функция является однородной функцией, то данное дифференциальное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Выполним соответствующую подстановку: и . Тогда уравнение принимает вид . Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными. . Разделяем переменные и получаем . Вычислим интеграл, стоящий в левой части равенства разложив предварительно подынтегральную дробь в сумму простейших:

Таким образом

Возвращаясь к решению дифференциального уравнения, имеем

. Выполнив обратную замену переменных, получаем общее решение данного дифференциального уравнения или .

б) .

Решение. Для решения линейного уравнения первого порядка используем подстановку Бернулли: . Тогда уравнение примет вид .

Выберем переменную так, чтобы выполнялись условия

Решаем первое уравнение . Подставим полученный результат во второе уравнение . Общим решением уравнения является функция .

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение. Решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному . Общее решение однородного уравнения имеет вид , где являются корнями характеристического уравнения . Частное решение данного неоднородного уравнения подберем по виду правой части . Поэтому (заметим, что числа не являются корнями характеристического уравнения). Дважды дифференцируем частное решение и подставляем полученные производные в исходное уравнение.

, . Получаем . Составим систему уравнений и найдем неизвестные коэффициенты и .

Общее решение данного уравнения .

Справочный теоретический материал

Тема: Производная.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1. Задача о скорости, движущейся точки.

Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. – путь, пройденный точкой за время , – некоторый момент, с которого начато наблюдение. – некоторый промежуток времени, в течении которого точка пройдет отрезок . .Отношение называется средней скоростью точки за время . Чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент .

Определение: Величина называется мгновенной скоростью точки в момент , если .

Задача 2. Пусть на координатной плоскости задана кривая уравнением . Точки и принадлежат кривой. Абсцисса точки равна , ордината равна . Через точки и проведем прямую. Она является секущей к данной кривой. Угловой коэффициент прямой , где .Предположим, что , т.е. точка приближается к точке . Прямая стремится занять некоторое предельное положение – называемое касательной.

Определение: Касательной к кривой в точке называется прямая угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей .

Определение производной.

Пусть функция определена на интервале . Аргументу дадим приращение : . Тогда приращение функции равно . Составим соотношение .

Определение: Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то этот предел называется производной функции в данной точке x. .

Действие нахождения производной называется дифференцированием; функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке. Если существует предел слева (или справа), то он называется левой (или правой) производной. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке интервала. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема на интервале и имеет правую производную в точке и левую производную в точке .

Из рассмотренных выше задач следует:

Задача 1: Мгновенная скорость есть производная пути по времени, - механический смысл производной.

Задача 2: Угловой коэффициент касательной к кривой в точке есть значение производной в этой точке. Уравнение касательной:

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Следствие: Если функция разрывна в некоторой точке, то в этой точке она не имеет производной.

Обратное утверждение не верно: функция непрерывная в некоторой точке может не иметь в этой точке производной.

Пример:

Так как предел не существует, следовательно, производная тоже не существует.

Правила дифференцирования.

Пусть и дифференцируемые на интервале функции, тогда выполняются свойства.

Свойство 1: .

Свойство 2: .

Свойство 3: .

Свойство 4: Пусть дана сложная функция , где и функция имеет производную а точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то производная сложной функции находится по формуле .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒