Тема: первообразная или неопределенный интеграл

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Определение. Функция называется первообразной функции на отрезке , если для всех точек этого интервала выполняется равенство .

Теорема 1: Если и две первообразные функции , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство: Рассмотрим разность . Тогда .

Следствие: если для некоторой функции найдена какая-нибудь первообразная , то любая другая первообразная имеет вид .

Определение. Если есть первообразная функции , то выражение называется неопределенным интегралом и обозначается .

– подынтегральная функция; – подынтегральное выражение.

Теорема 2: Если функция непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. .

4. .

5. .

6. Если , то

а) ,

б) ,

в) .

Таблица интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Методы интегрирования

I. Интегрирование методом подстановки.

Заметим, что следующие равенства не зависят от того, как обозначается переменная

Обобщение: , что следует из правила дифференцирования сложной функции .

Часто метод подстановки применяется в другой форме. В этом случае переменную представляют как функцию вспомогательного аргумента. .

II. Интегрирование по частям.

Пусть и функции, имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство, получим .

Интегрирование рациональных дробей.

I. Дроби правильные и неправильные. Выделение целой части.

Дробно-рациональной функцией называется функция вида , где и многочлены соответственно степени . Если , то дробь называется правильной. В противном случае – неправильной. Для неправильной дроби нужно выполнить процедуру выделения целой части, т.е. представить данную неправильную дробь как сумму многочлена и правильной дроби . Где - частное и остаток деления числителя дроби на знаменатель.

Корнем многочлена называется число (действительное или комплексное), такое, что . При этом многочлен можно разложить на множители , где

– кратность корня . Если , то корень называется простым. В случае, если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то комплексное число, сопряженное данному корню, также является корнем этого многочлена. Тогда в разложении многочлена на множители входит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом .

II. Знаменатель имеет простые действительные корни.

Теорема 1: Пусть простой корень знаменателя дроби . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей .

III. Знаменатель имеет действительные кратные корни.

Теорема 2: Пусть корень знаменателя дроби кратности . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей .

Следствие:

IV. Знаменатель имеет комплексные корни.

Теорема 3: Пусть два комплексных сопряженных числа являются корнями знаменателя дроби . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей .

Интегрирование тригонометрических функций.

Вычисление неопределенных интегралов от функций рационально зависящих от и , то есть интегралов вида проводят с помощью универсальной тригонометрической подстановки. При этом выбирают новую переменную . В этом случае все подынтегральное выражение зависит от : .

В некоторых случаях возможны более простые приемы вычисления интегралов.

Для вычисления интегралов вида можно использовать

1) Подстановку , если – положительное нечетное число;

2) Подстановку , если – положительное нечетное число;

3) Формулы понижения степени , если – неотрицательные четные числа;

4) Подстановку , если – четное отрицательное число;

5) Тригонометрические формулы

для интегралов вида .

Определенный интеграл.

I. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача 1 (задача о работе силы).

Пусть на прямолинейном участке движется материальная точка под действие переменной силы . Вычислить работу, производимую этой силой.

Разобьем отрезок на частей . Пусть так велико, а разбиения так малы, что на каждом из них сила практически постоянна и равна , где точка . Тогда на каждом участке разбиения . Работа на всем отрезке равна . Точное значение работы равно ( ).

Задача 2 (о площади криволинейной трапеции).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми .

Разобьем отрезок на частей . Пусть так велико, а разбиения так малы, что на каждом из них практически постоянна. Тогда на каждом участке разбиения площадь элементарной криволинейной трапеции равна площади прямоугольника (точка ). Площадь на всем отрезке равна . Точное значение ( ).

Определение:

Пусть функция непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на частей . Рассмотрим интегральную сумму , где и .

Если существует ( )., то он называется определенный интеграл и обозначается .

Можно доказать, что предел, а значит и интеграл не зависит от разбиения отрезка на части и выбора точек .

В задаче 1: Работа ; в задаче 2: площадь криволинейной трапеции .

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒