Финансовый анализ базовых рент пренумерандо и постнумерандо

Глава 1. Финансовые ренты

Финансовая рента — ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Финансовая рента (далее — рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временной интервал между двумя платежами;

срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

процентная ставка — ставка, используемая для расчёта наращения или дисконтирования платежей (в начале, в середине, или в конце года) и др.

На практике используются различные виды финансовых рент. Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (p раз) ренты называются p-срочными. Эти ренты называются дискретными. Ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные называются — непрерывные ренты. В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в году, несколько раз в году (m раз) и непрерывным начислением. С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи — члены ренты равны между собой) и переменные. Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные ренты). По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные — постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т. д.), и преднамеренно, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Наращённая сумма - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращённая сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Классификация рент

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из последовательности, т.е. потока платежей, возможно, разных знаков. Примером могут служить погашение займа, арендная плата. Инвестиция в производство или ценные бумаги и т.д.

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент времени , а заканчивается в момент , а выплата суммы проходит в момент , k=0, 1, …, n, причем

При теоретическом анализе обычно полагают . В следующей главе мы рассмотрим самые общие потоки платежей, а в этой – самые простые, широко распространенные, давно и хорошо изученные.

Определение. Если все выплаты одного знака и проходят через одинаковые интервалы времени , то такая последовательность платежей называется финансовой рентой или аннуитетом (annuity) независимо от назначения этих выплат. Для удобства анализа рент все выплаты будем считать положительными.

Ренты часто встречаются на практике. Их примером являются квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или ценным бумагам и т.д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные (anno – год на латинском языке) выплаты, оттуда и пошло их название «аннуитет». Позднее оно стало включать и все последовательности платежей одног*-о знака через любые одинаковые промежутки времени.

Перечислим теперь основные параметры и проведем классификацию рент. Прежде всего необходимо выбрать базовую единицу времени и задать постоянную эффективную ставку i сложного процента. По которой производятся все расчеты по ренте, указать способ начисления процента и другие технические подробности.

Затем необходимо задать - член ренты. Если все выплаты одной величины, т.е. , то рента называется постоянной , в противном случае – переменной. Члены переменной ренты могут изменяться по заранее заданному правилу. Мы ограничимся рассмотрением постоянных рент.

Далее необходимо задать τ – период ренты или период выплат, т.е. календарную длину постоянного интервала между двумя последовательными выплатами. Задавая еще число n выплат, мы получаем nτ – календарный срок ренты. При теоретическом анализе часто принимают τ за базовую единицу времени, так что , а число n выплат совпадает со сроком ренты.

Выплата ренты может производиться один раз или l раз за год, начисление процентов – один раз или m раз за год. Это – дискретные (l, m)- кратные ренты , причем мы рассмотрим только случай l=m. Когда выплаты и начисление процентов производятся очень часто (например, еженедельно), их проще анализировать как непрерывные и называть непрерывная рента.

Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной (ordinary annuity), а если в начале периода, то пренумерандо или авансированный (annuity due).

Иногда выплаты могут производиться в середине каждого периода, примером чего может служить ежемесячная выплата пенсии в определенный для каждого пенсионера день. Характеристики этого случая будут заключены между соответствующими характеристиками рент пренумерандо и постнумерандо.

С точки зрения срока ренты делятся на безусловные (annuity certain), когда заранее оговариваются дата первой и последней выплаты, и условные (contingent annuity), когда дата первой и/или последней выплат зависит от того, произойдет или не произойдет некоторое событие. Примером условной ренты может служить пенсия (life annuity), выплата которой начинается после достижения гражданином определенного возраста и прекращается после смерти пенсионера. Анализ условных рент – один из фундаментальных разделов страховой математики, результаты которой в основу расчетов страховых тарифов. Без этого невозможна законная деятельность страховых фирм и пенсионных фондов. Поскольку расчеты условных рент связаны с вероятностями определенных событий и требуют знания хотя бы элементов теории вероятности и математической статистики, то мы не будем их рассматривать и ограничимся лишь безусловными рентами. Однако изучение безусловных рент важно само по себе и, кроме того, служит хорошим введением в изучение условных рент.

Если n = ∞, то соответствующая рента называется бессрочной, или вечной (perpetuity). Хотя такая рента на первый взгляд может показаться нам странной, но случай n = ∞ имеет не только теоретический интерес. Примером здесь могут служить «консоли» - бессрочные облигации британского казначейства, выпущенные еще в XIX в. Выплаты по ним производятся два раза в год обычно под 2, 5 % годовых, а сама облигация может быть выкуплена в любое время по желанию владельца. Облигации рассматриваются в теории ценных бумаг, которой посвящено много книг и статей.

Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае – общей. Мы будем рассматривать только простые постоянные безусловные ренты и если это не вызывает сомнений, называть их кратко «рента». Тип выплат постнумерандо или пренумерандо будут указываться дополнительно.

Рис. 1.1

Например, пусть период ренты равен одному месяцу, выплата постнумерандо происходит в первый, а пренумерандо – в последний рабочий день месяца. Тогда в математической модели можно принять, что

Как правило, в действительности мы не будем пользоваться этой конкретизацией, а будем считать, что выплаты постнумерандо непосредственно предшествуют, а выплаты пренумерандо сразу следуют за числом (датой) k – границей между смежными периодами ренты. Формально это означает, что ℇ пренебрежимо мало.

Заключив построение модели выплат, перейдем к чисто финансовому анализу. В главе 2 мы установили, что стоимость каждой денежной суммы зависит от момента ее получения, так что при суммировании разновременных денежных сумм нужно сначала привести их к одному интересующему нас моменту времени.

Пусть (t) – суммарная стоимость всех выплат ренты , приведенная к моменту t, а (t) – аналогичная величина для ренты , . Выведем теперь формулы для суммарной стоимости этих рент в момент 0 начала договора о ренте (современная или текущая стоимость, или PV ренты) и в момент n конца договора о ренте (наращенная стоимость или AV ренты). Эти величины нужны для правильного определения цены продажи или покупки ренты. Введем обозначения:

, .

Приводя все выплаты к моменту 0, получим с помощью формул для суммы членов геометрической прогрессии совершенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо (рис.12, 1):

, (1.1)

. (1.2)

Знаменателем прогрессии здесь служит введенный ранее коэффициент дисконтирования

Перейдя теперь от стоимости рент в момент 0 к их стоимости в момент n, получим наращенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо:

, (1.3)

. (1.4)

Для стоимости рент с единичными выплатами Y=1 ден. ед. в международной финансовой практике широко применяются специальные обозначения. Так, современные стоимости в момент 0 таких рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.5)

Отсюда следуют простые соотношения

(1.6)

Наращенные стоимости в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.7)

Отсюда следует, что

(1.8)

Величины и называют коэффициентами дисконтирования, а и – коэффициентами наращения ренты. Отметим, что если величина i эффективной процентной ставки фиксирована, то то в нижнем индексе пишут вместо .

Удобство введенных величин состоит в том, что для получения стоимости ренты с выплатой Y достаточно соответствующую стоимость ренты с единичной выплатой (1.6), (1.8) легко выразить через любую из них, каждая из них является простой функцией от n и i, их легко вычислить с помощью калькулятора. Они обладают рядом интересных свойств, часть из которых будет рассмотрена ниже.

Заметим, что обозначения величин для (1.5)-(1.8) и для ряда других введены еще в конце XlX в. Международным союзом актуариев – страховых и финансовых математиков – и повсеместно применяются в финансовых расчетах до настоящего времени.

Отсроченные ренты

Рассмотрим обобщение базовых рент, когда первая из последовательности n единичных выплат происходит в момент

для пренумерандо и – для постнумерандо (рис.1.2).

Рис. 1.2

Определение. Такой поток платежей называется отсроченной на h единиц времени рентой (deferred annuities), а его современную стоимость в момент 0 обозначают через для выплат пренумерандо через - для выплат пренумерандо, n=1, 2, …, . При h=0 отсроченная рента совпадает с базовой.

Поскольку

(1.22)

То для вычисления современной стоимости ренты можно использовать (1.6) при любых значениях , включая дробные. Вместе с тем при любом целом h=1, 2, и n=1, 2,

(1.23)

Таким образом, при для вычисления коэффициентов дисконтирования отсроченной ренты можно пользоваться как (1.22), так и (1.23), а при любом , включая дробные, только (1.22)

Как и следовало ожидать из финансовых соображений, коэффициенты дисконтирования (1.22)-(1.23) отсроченной ренты при h=0 совпадают с и

M-кратные ренты

Как это часто бывает на практике, выберем теперь за базовую единицу времени 1 год. Обозначим эффективную ставку через i и примем, что за год производится m равностоящих выплат по ден. ед. каждая, причем проценты начисляются также m раз, m=1, 2…. Общее число выплат за интервал времени в n лет составит nm, а общая сумма выплат при i=0 составит n ден. ед. Для ренты постнумерандо выплаты производятся и проценты начисляются в моменты

m выплат m выплат

…, ,

а для выплат пренумерандо – в моменты

m выплат m выплат

, .

Заметим, что предпоследняя операция постнумерандо и последняя операция пренумерандо производится в момент

Обозначим коэффициенты дисконтирования рент постнумерандо и пренумерандо в случае m выплат и m начислений соответственно и , а коэффициенты наращения – соответственно и . Для краткости в промежуточных результатах мы будем иногда опускать в нижнем индексе.

Приводя стоимость всех выплат ренты постнумерандо к моменту 0, получим:

Так как , то

Здесь мы воспользовались формулой (6, 4), связывающей номинальную ставку с эффективной годовой ставкой i.

Следовательно,

(1.24)

Аналогичным образом,

Поэтому, как и следовало ожидать из финансовых соображений,

(1.25)

Проводя аналогичные алгебраические выкладки для ренты пренумерандо, получим.

, (1.26)

. (1.27)

Таким образом, мы обобщили случай однократных рент на случай (l, m)-кратных в том наиболее частом случае, когда число l выплат за год совпадает с количеством m начислений за год.

Заметим, что рента с m-кратным начислением процентов, m выплатами по ден. ед. за год, номинальной годовой ставкой и сроком n лет эквивалентна однократной ренте с периодом лет, выплатой по ден. ед., процентной ставкой за период и сроком nm периодов.

То

. (1.28)

Непрерывные ренты

Пусть на интервале от начального момента 0 до конечного момента рента выплачивается очень часто, так что ее можно считать непрерывной. Очевидно, что при непрерывной выплате различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает. Современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно с постоянной интенсивностью одна денежная единица за одну единицу времени при непрерывном начислении процентов с постоянной интенсивностью δ обозначим . Так как за интервал будет выплачена ден. ед., а приведенная на момент 0 стоимость этой суммы составит , то после суммирования по интервалу (0, n) и перехода к пределу по получим:

. (1.29)

Здесь n – любое неотрицательное число, не обязательно целое. Если δ = 0, то , что следует из финансовых соображений. Поскольку при непрерывном начислении процентов , то при из (1.29) следует, что

(1.30)

Или

. (1.31)

Пусть h –любое неотрицательное число, не обязательно целое, а - современная стоимость отсроченной на h единиц времени ренты, выплачиваемой непрерывно с интенсивностью 1 на интервале (h, h+n). Тогда

Следовательно, отсроченную непрерывную ренту легко выразить через немедленную:

. (1.32)

Повторяя рассуждения, сделанные при выводе формулы (1.32) для коэффициентов наращения непрерывной немедленной ренты, получим:

Отсюда следует, что

(1.33)

Или

(1.34)

Формула (3.14) сразу следует из финансовых соображений, так как

Теорема 1.1. Для бессрочной ренты

Доказательство следует из (1.30), так как

Из (2.6) и (3.10) следует

Теорема 1.2. Для любых n=1, 2, и любых m=1, 2 имеет место:

(1.35)

Теорема 1.3. Для любых n=1, 2 и любых m=1, 2 имеет место:

(1.36)

Это неравенство позволяет банку правильно рассчитать себестоимость ренты, а клиенту при фиксированной цене ренты, фиксированном сроке n и фиксированной эффективной ставке i выбрать наиболее выгодную для него схему выплат. Очевидно, что при прочих равных условиях наиболее выгодной является выплата пренумерандо в начале каждого периода ренты.

Вывод основного уравнения

Экономический анализ эффективности планируемых среднесрочных и особенно долгосрочных инвестиций является сложной задачей. Для выбора наилучших объектов и вариантов вложения средств во всем мире применяются несколько методик. Чаще всего они основаны на использовании следующих четырех показателей для сравнения вариантов инвестиций:

1. Чистая текущая стоимость

2. Внутренняя норма доходности

3. Период окупаемости

4. Индекс рентабельности

Первым показателем является рассмотренная в предыдущем параграфе чистая текущая стоимость проекта, совпадающая с NPV порождаемого проектом потока платежей. Действительно, отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора рассматриваемого варианта потока платежей при данном наборе значений и эффективной годовой ставке . Среди вариантов с положительным NPV π естественно выбрать тот, у кого NPV π больше. Однако этот лучший по NPV π вариант надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, что может оказаться более рентабельным и к тому же менее рискованным.

Для этой цели служит второй показатель – внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return = IRR)

, (2.22)

где является корнем уравнения

(2.23)

Это уравнение называется уравнением стоимости или уравнением доходности для проекта на момент 0.

Смысл уравнения (2.23) состоит в том, что приведенные на тот момент начала проекта значения потоков расходов и доходов совпадают, т.е. проект является бесприбыльным.

Определение Если уравнения существует единственный платежный корень i₀, то его называют ставкой доходности проекта или внутренней нормой доходности (IRR) за базовую единицу времени.

Если , где - эффективная рыночная ставка процента, то соответствующий проект нужно отвергнуть, а если - соответствующий проект, в принципе, можно принять выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением . Таким образом, экономическая задача требует решения чисто математической задачи – отыскания корней уравнения (2.23).

Очевидно, что если поток π платежей задан, то

(2.24)

- недисконтированная сумма всех нетто-платежей за срок проекта. При этом из финансового смысла следует, что нужно отвергнуть все варианты с f(0)< 0 и рассматривать лишь варианты, для которых

. (2.25)

Далее при очень больших значениях i имеем:

, (2.26)

Где С(0) – начальная инвестиция.

Теорема 2.2. Если все отрицательные платежи предшествуют всем положительным и наоборот, то определено.

Теорема 2.3 (обобщает предыдущую). Пусть и

(2.27)

- накопленная сумма всех нетто-платежей инвестора от момента 0 до момента t_m включительно.

Если и если после исключения нулевых значений последовательность (C₀, C₁, …, C_n) имеет ровно одну перемену знака, то уравнение доходности (2.23) имеет единственный положительный корень, т.е. определено.

Индекс рентабельности

Индекс рентабельности (benefit cost ratio или Present Value Index) проекта представляет собой отношение суммы всех дисконтированных денежных доходов от инвестиций к сумме всех дисконтированных инвестиционных расходов.

Если рентабельности меньше 1, то проект должен быть отклонен, а среди проектов, у которых индекс больше 1, следует отдать предпочтение проекту с наибольшим индексом рентабельности. Однако следует иметь ввиду, что не всегда проект с самым большим индексом рентабельности будет иметь и самую высокую чистую текущую стоимость.

Учет и инфляции

Индексация ставки процента

Пусть сумма S(0) ден.ед. была положена на банковский депозит на момент n месяцев с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке j=i⁽¹²⁾/12, где i⁽¹²⁾ – номинальная годовая ставка процентов. Предположим, что h – ожидаемый месячный темп инфляции. Тогда через т месяцев начисленная вкладчику сумма составит номинально

а ее реальная стоимость из-за инфляции составит лишь

Если h=j, то реальная стоимость суммы S(0) сохраняется, а при h> j она даже уменьшается (в финансовой литературе это влияние называется эрозией капитала). Лишь при h< j реальная стоимость S(0) за n месяцев возрастает, но в меньшей степени, чем планировалось. Поэтому часто прибегают к увеличению (индексации) первоначальной или нетто-ставки процента на величину инфляционной премии.

Пусть j – первоначальная эффективная нетто-ставка процента, а r – соответствующая ей брутто-ставка, т.е. ставка за ту же базовую единицу времени с поправкой на инфляцию. Для того чтобы реальная стоимость S_реальн(n) совпадала с номинальной S(n), необходимо увеличить коэффициент наращения до

Отсюда

И если j и h за базовую единицу времени достаточно малы, то брутто-ставку процента можно принять

Если инфляция невелика, то за базовую ед.вр. можно выбрать год, а если она большая, то месяц.

Кривая Лоренца

В предыдущем параграфе мы рассмотрели индекс инфляции. Индексные системы широко применяются в экономическом и финансовом анализе наряду со статистическими моделями. Индексные числа суммируют массу информации о ценах различных товаров и услуг или об их количестве. Индексные числа играют ту же роль, что и среднее значение, и обладают теми же преимуществами и недостатками: они дают полезную итоговую оценку всей имеющейся совокупности данных, на за счет утраты многих деталей.

Специальное индексное число случит измерения неравенства доходов.

В качестве примера рассмотрим взятые нами из [12] официальные данные о суммарных еженедельных семейных доходах Великобритании за 1992 г., содержащиеся в таблице 19, 1. Выборка объемом 7418 семей произведена по специальной программе, причем все доходы семьи, включая пенсии, учитываются до уплаты налогов. Величины доходов разделены на 8 интервалов, границы которых приводятся в столбце 2. В столбце 3 приводятся значения a_j середины интервала j, а в столбце 4 – число f_j семей в группе (интервале) j, j=1, 2, …, 8.

Табл. 3.1

Даже беглый взгляд на исходные данные, содержащиеся в столбцах 2 и 4 этой таблицы, говорит о существенном неравенстве в распределении доходов. Например, самые бедные 12% семей получают менее 80 фунтов стерлингов в неделю, а самые богатые 6% - по крайней мере в 10 раз больше. Это – важная информация о неравенстве доходов, но она основана только на сравнении двух крайних групп распределения доходов. Построим теперь кривую Лоренца, которая дает наглядное графическое представление о всем распределении доходов.

Этой цели служат столбцы 5 – 9 табл. 3.1. Обозначим общее число семей через f., где

В столбце 5 проводится относительное число f_j/f семей в группе j, а в столбце 6 – накопленное относительное число

(3.14)

Семей в группах с 1 по j включительно.

В столбце 7 приводятся a_jj_j – приближенная оценка общего дохода семей из группы j в фунтах стерлингов, а в столбце 8 – доля в общем доходе семей из группы j. Наконец, в столбце 9 приводится накопленная доля

(3.15)

в общем доходе семей из групп с 1 по j включительно, j=1, 2, …, 8.

Определение. Если m – общее число групп, то кривая Лоренца приходит через опорные точки.

(3.16)

На рисунке 198, 1 приводится гладкая кривая Лоренца для рассмотренного выше примера. Например, первая опорная точка (0, 122; 0, 015) означает, что 12% семей имеют около 20% общего дохода. Предпоследняя опорная точка (0, 938; 0, 817) означает, что наиболее богатые 6% семей имеют более 18% общего дохода.

Кривая Лоренца в общем случае обладает следующими очевидными свойствами:

1) Так 0% семей имеют 0% общего дохода, а 100% семей общего дохода, то кривая Лоренца соединяет начало координат – нулевую опорную точку (0, 0) – с m-й опорной точкой (1, 1) – вершиной квадрата со стороной 1, опирающегося из оси координат.

2) Поскольку группы семей упорядочены от более бедных к более богатым, то Лоренца лежит ниже биссектрисы первого координатного угла. Сама биссектриса представляет собой случай полного равенства семейных доходов. Заметим, что в рассмотренном примере степень неравенства среди беднейших семей больше, чем среди богатых.

3) Поскольку с ростом x соответствующие семейные группы содержат все более богатые семьи, то накопленная доля y дохода возрастает все быстрее. Поэтому кривая Лоренца выпукла вниз.

Рис. 3.4 Рис.3.5

Коэффициент Джини

Этот коэффициент дает численную оценку неравенства в распределении доходов и может быть получен с помощью кривой Лоренца.

На рис. 3.5 снова изображена кривая Лоренца, причем площадь части квадрата между нею и биссектрисой обозначена A, а между нею, осью абсцисс и правой стороной квадрата и со сторонами 1 обозначена через B. Очевидно, что

. (3.17)

Определение. Коэффициентом Джини называется число

, (3.18)

Причем .

Случай G=A=0 означает, что кривая Лоренца совпадает с биссектрисой, т.е. имеет место полное равенство доходов. Случай G=1, B=0 означает, что кривая Лоренца вырождается в отрезок [0, 1) оси абсцисс и точку (1, 1), т.е. все доходы получает только одна семья. Оба этих крайних случая представляют лишь теоретический интерес, а на практике справедливо неравенство 0< G< 1, причем с ростом G неравенство в распределении доходов растет. Поэтому коэффициент Джини позволяет синхронизовать между собой распределения доходов в различных регионах одной страны, между странами, изучать его динамику и т.д.

Таким образом, для вычисления G по формуле (3.18) достаточно вычислить площадь B под кривой Лоренца, а затем воспользоваться формулой (3.17).

Для вычисления площади B рассмотрим рис. 3.6 на котором крупным планом изображена часть кривой Лоренца между точками

3.6

Площадь под кривой Лоренца на отрезке от до Можно приблизить с помощью трапеции с основанием длиной и высотой , причем погрешность будет уменьшаться с ростом m. Поэтому

. (3.19)

Глава 1. Финансовые ренты

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временной интервал между двумя платежами;

срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

Классификация рент

12 3 4 5 6 Следующая ⇒