Свойства коэффициентов дисконтирования и наращения рент

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Приведем теперь несколько утверждений о свойствах коэффициентов дисконтирования и наращения рент. Для удобства по-прежнему считаем, что базовая единица времени равна периоду ренты

1) Если i = 0, то v = 1 и для любых n, n=1, 2,

(1.9)

Это следует как из формального определения указанных величин, так и из финансового смысла при отсутствии наращения и дисконтирования полная стоимость ренты в любой момент времени равна просто сумме всех выплат.

2) Рассмотрим теперь более подробно случаи n=0 и n=1

Случай n=0 означает, что выплаты отсутствуют. Поэтому удобно рассмотреть и этот случай, приняв

(1.10)

При n=1 по определению (1.5) получим, что

(1.11)

Как и следовало ожидать, этот результат следует и из (1.6)

3) (1.12)

При n 2 доказательство сразу следует из

а при n=1 – из (1.10)

(1.13)

Действительно, в ренте пренумерандо первая выплата происходит в момент 0, но в ней отсутствует выплата 1 ден. Ед. в момент n.

5) , (1.16)

С финансовой точки зрения это очевидно, так как последовательность выплат пренумерандо выгоднее для получения ренты – она начинается раньше.

6) Из 12, 6 следует, что

(1.17)

c (1.18)

Действительно, пусть вкладчик положил 1 ден. ед. на банковский депозит на срок n месяцев по ставке i за месяц. Тогда при ежемесячной выплате процентов и возврате вклада в размере ден. ед. по истечении n месяцев современная стоимость этого депозита в начальный момент эквивалентна 1 ден. ед., как при выплате суммы i ден. ед. в конце каждого месяца, так и суммы d ден. ед. в начале каждого месяца.

Можно проинтегрировать (1.17) и как погашение долга в 1 ден. ед. равными месячными платежами в сумме i ден. ед. в конце месяца 1, 2, …, n-1 и при возврате (1+i) ден. ед. в конце месяца n.

7) Пусть теперь , а n неограниченно возрастает, так что

Тогда для современной стоимости бессрочной ренты получим из (1.6):

(1.19)

Таким образом, современная стоимость даже неограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало что стоят сегодня. При большой инфляции, когда обесценивание денег происходит особенно быстро.

Отметим, что гипотетическому случаю полного отсутствия инфляции, когда стоимость любой суммы денег остается постоянной, соответствует их определению и финансовому смыслу случая i=0.

8) Для бессрочной ренты при любом

(1.20)

С финансовой точки зрения это очевидно: современная стоимость бессрочной ренты при выплате пренумерандо на 1 ден. ед. – величину первой выплаты – превосходит современную стоимость ренты постнумерандо.

9) Чтобы дать выплате бессрочной ренты прямую финансовую интерпретацию, запишем (1.19) в виде

(1.21)

Тогда первое соотношение означает процент в размере 1 ден. ед., выплачиваемый в конце каждой единицы времени с суммы , помещенной в начальный момент на банковский депозит по постоянной эффективной ставке i. Второе соотношение также означает процент в размере 1 ден. ед., но выплачиваемый в начале каждой единицы времени при прочих равных условиях.

§ 3. Oтсроченные m-кратные ренты и непрерывные ренты

Отсроченные ренты

Рассмотрим обобщение базовых рент, когда первая из последовательности n единичных выплат происходит в момент

для пренумерандо и – для постнумерандо (рис.1.2).

Рис. 1.2

Определение. Такой поток платежей называется отсроченной на h единиц времени рентой (deferred annuities), а его современную стоимость в момент 0 обозначают через для выплат пренумерандо через - для выплат пренумерандо, n=1, 2, …, . При h=0 отсроченная рента совпадает с базовой.

Поскольку

(1.22)

То для вычисления современной стоимости ренты можно использовать (1.6) при любых значениях , включая дробные. Вместе с тем при любом целом h=1, 2, и n=1, 2,

(1.23)

Таким образом, при для вычисления коэффициентов дисконтирования отсроченной ренты можно пользоваться как (1.22), так и (1.23), а при любом , включая дробные, только (1.22)

Как и следовало ожидать из финансовых соображений, коэффициенты дисконтирования (1.22)-(1.23) отсроченной ренты при h=0 совпадают с и

M-кратные ренты

Как это часто бывает на практике, выберем теперь за базовую единицу времени 1 год. Обозначим эффективную ставку через i и примем, что за год производится m равностоящих выплат по ден. ед. каждая, причем проценты начисляются также m раз, m=1, 2…. Общее число выплат за интервал времени в n лет составит nm, а общая сумма выплат при i=0 составит n ден. ед. Для ренты постнумерандо выплаты производятся и проценты начисляются в моменты

m выплат m выплат

…, ,

а для выплат пренумерандо – в моменты

m выплат m выплат

, .

Заметим, что предпоследняя операция постнумерандо и последняя операция пренумерандо производится в момент

Обозначим коэффициенты дисконтирования рент постнумерандо и пренумерандо в случае m выплат и m начислений соответственно и , а коэффициенты наращения – соответственно и . Для краткости в промежуточных результатах мы будем иногда опускать в нижнем индексе.

Приводя стоимость всех выплат ренты постнумерандо к моменту 0, получим:

Так как , то

Здесь мы воспользовались формулой (6, 4), связывающей номинальную ставку с эффективной годовой ставкой i.

Следовательно,

(1.24)

Аналогичным образом,

Поэтому, как и следовало ожидать из финансовых соображений,

(1.25)

Проводя аналогичные алгебраические выкладки для ренты пренумерандо, получим.

, (1.26)

. (1.27)

Таким образом, мы обобщили случай однократных рент на случай (l, m)-кратных в том наиболее частом случае, когда число l выплат за год совпадает с количеством m начислений за год.

Заметим, что рента с m-кратным начислением процентов, m выплатами по ден. ед. за год, номинальной годовой ставкой и сроком n лет эквивалентна однократной ренте с периодом лет, выплатой по ден. ед., процентной ставкой за период и сроком nm периодов.

То

. (1.28)

Непрерывные ренты

Пусть на интервале от начального момента 0 до конечного момента рента выплачивается очень часто, так что ее можно считать непрерывной. Очевидно, что при непрерывной выплате различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает. Современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно с постоянной интенсивностью одна денежная единица за одну единицу времени при непрерывном начислении процентов с постоянной интенсивностью δ обозначим . Так как за интервал будет выплачена ден. ед., а приведенная на момент 0 стоимость этой суммы составит , то после суммирования по интервалу (0, n) и перехода к пределу по получим:

. (1.29)

Здесь n – любое неотрицательное число, не обязательно целое. Если δ = 0, то , что следует из финансовых соображений. Поскольку при непрерывном начислении процентов , то при из (1.29) следует, что

(1.30)

Или

. (1.31)

Пусть h –любое неотрицательное число, не обязательно целое, а - современная стоимость отсроченной на h единиц времени ренты, выплачиваемой непрерывно с интенсивностью 1 на интервале (h, h+n). Тогда

Следовательно, отсроченную непрерывную ренту легко выразить через немедленную:

. (1.32)

Повторяя рассуждения, сделанные при выводе формулы (1.32) для коэффициентов наращения непрерывной немедленной ренты, получим:

Отсюда следует, что

(1.33)

Или

(1.34)

Формула (3.14) сразу следует из финансовых соображений, так как

Теорема 1.1. Для бессрочной ренты

Доказательство следует из (1.30), так как

Из (2.6) и (3.10) следует

Теорема 1.2. Для любых n=1, 2, и любых m=1, 2 имеет место:

(1.35)

Теорема 1.3. Для любых n=1, 2 и любых m=1, 2 имеет место:

(1.36)

Это неравенство позволяет банку правильно рассчитать себестоимость ренты, а клиенту при фиксированной цене ренты, фиксированном сроке n и фиксированной эффективной ставке i выбрать наиболее выгодную для него схему выплат. Очевидно, что при прочих равных условиях наиболее выгодной является выплата пренумерандо в начале каждого периода ренты.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒