Формализация и исчисление сложных суждений

 

В основе механизма развития любой науки лежит органическое взаимопереплетение двух процессов - выдвижение гипотез и их проверка (верификация). Второй процесс не менее важен, чем первый. Пока истинность гипотезы не будет доказана, она не получит статус теории, а значит не будет принята научным сообществом. Основные способы верификации гипотез - наблюдения и эксперименты. Они наглядно удостоверяют правильность или ошибочность наших гипотетических построений. Но, к сожалению, проведение опытов и экспериментов, особенно на современном этапе развития науки, сопряжено с такими огромными материальными затратами, что их осуществление приходится откладывать на долгие годы. В некоторых случаях эксперименты оказываются в принципе невозможными в силу специфики исследуемых объектов. Поэтому в науке всегда были актуальными поиски неэмпирических критериев истины, с помощью которых было бы возможно чисто мыслительным путем индицировать правильность или ложность гипотез. И здесь взгляд ученых обращался к логике. Знание логических законов, правил логических операций издревле помогало обнаруживать изъяны в рассуждениях, в том числе и научного характера, опровергать одни положения, доказывать другие. Однако сложность языка науки, содержательная разнородность различных областей научного знания долгое время препятствовали широкому внедрению логического анализа в процесс научной верификации. Только в конце XIX в. в логике началось построение мощного инструмента, позволяющего преодолевать эти препятствия. Таким инструментом стали формализация и логическое исчисление сложных суждений, позволяющие в ряде случаев, не обращаясь к опыту, устанавливать истинность или ложность наших предположений, в том числе и научных гипотез. С логической точки зрения система научных знаний является совокупностью суждений разной степени сложности и поэтому подчиняется тем законам, которые формулируются в теории суждения. Но, чтобы использовать эти законы применительно к конкретным научным системам, последние необходимо очистить от содержательной специфики, вычленить их логическую структуру. Решить эту задачу позволяет формализация (символизация) языковых выражений, используемых в рассуждениях.

С простейшими логическими символами мы уже сталкивались при описании структуры сложных суждений, обозначая простые суждения переменными р и q, а соединяющие их логические союзы знаками &, v, > ≡. Правда, символические записи, которыми мы пользовались: р& q, рv q, р> q - суть символизации простейших сложных суждений, состоящих из двух простых суждений и одного логического союза. В реальной языковой практике очень часто встречаются суждения, содержащие в своей структуре более двух простых суждений и несколько логических союзов.

Возьмем, например, такое суждение: " Если Иванов получит сегодня стипендию, то он пойдет в ресторан или в кино и проведет культурно вечер; а получит он стипендию в том и только в том случае, если придет сегодня в институт". Нетрудно определить, что приведенное суждение является комбинацией из пяти различных простых суждений:

1) " Иванов получит сегодня стипендию", 2) " Иванов пойдет в ресторан", 3) " Иванов пойдет в театр", 4) " Иванов культурно проведет вечер", 5) " Иванов пойдет в институт". Ясно также, что знакомых нам двух переменных р и q будет недостаточно для символизации всех простых суждений, поскольку их пять. Но эта проблема решается легко. Новые переменные мы можем взять как из латинского алфавита (буквы, следующие за р и q -r, s, t….x, y, z), так и из списка индексированных вариантов какой-либо одной буквы ( например, р₁, р₂…. р_n.) Итак, произведем буквенное обозначение наших простых суждений: 1-е - р; 2-е - q; 3-е - r; 4-е - s; 5-е - t.

Следующим шагом символизации будет замена логических союзов их символами. Последовательно переводя простые суждения и соединяющие их логические союзы на символический язык, мы получим такую запись: р> qvr& s& р≡ t. К сожалению, она не может передать смысл нашей фразы, поскольку в ней оказалась неотраженной субординация логических союзов. Неясно, например, что является консеквентом импликации: q, qvr или, может быть, вся стоящая слева от импликации часть формулы. Устранить подобные вопросы нам помогут технические знаки - левая и правая скобки. Расставим их в соответствии со смыслом фразы и получим формулу, точно и однозначно фиксирующую структуру нашего сложного суждения: ( р > ((qvr)& s)) & (р ≡ t ).

Таков в общих чертах алгоритм символизации любых сколь угодно сложных суждений. Он, как мы видели, включает три операции: обозначение простых суждений буквенными переменными, замена грамматических союзов символами логических союзов и субординация логических союзов с помощью скобок.

Переведя сложное суждение с естественного языка на язык формальный, мы можем приступить к следующему шагу логического анализа - исчислению логической формулы, полученной в результате перевода, то есть определению логических условий ее истинности или ложности. В распоряжении логиков сегодня имеется несколько способов такого исчисления (алгебраическое, аксиоматическое, секвенциальное и др.). Мы познакомимся с одним из простейших способов логического исчисления, суть которого состоит в составлении таблиц истинности для формул, символизирующих сложные суждения (табличный способ логического исчисления).

Что представляет собой таблица истинности, мы можем узнать, взглянув на приводившуюся выше сводную таблицу логических значений некоторых сложных суждений в зависимости от логических значений простых суждений, их составляющих. Каждая из колонок данной таблицы является таблицей истинности соответствующих суждений.

Построение таблиц истинности для суждений, включающих в свою структуру более двух простых суждений и несколько логических союзов, осуществляется по следующему алгоритму: в левую часть таблицы заносятся все возможные комбинации логических значений переменных, символизирующих простые суждения (количество этих комбинаций определяется по формуле 2ⁿ, где n - количество переменных), в правую - логические значения сложного суждения при данных комбинациях (это значение определяется по правилам логических союзов, о которых шла речь выше). Если в суждении есть несколько логических союзов, их исчисление ведется последовательно с учетом математического правила оперирования со скобками: сначала исчисляются логические союзы многочленов, стоящих в малых скобках, затем исчисляется логический союз, соединяющий малые скобки, и т.д.

На первых порах при освоении механизма табличного исчисления лучше идти по пути последовательного исчисления многочленов, из которых состоит формула. Например, нам надо исчислить такое сложное суждение: " Или идет снег и дует ветер, или идет дождь и нет ветра; а если нет дождя и снега, то ветер дует обязательно". Обозначив простые суждения " Идет снег" - Р, " Дует ветер" - q. " Идет дождь" - r, мы получим формулу: ((p& q)v(r& q)& ((p& r) > q). Таблица истинности этой формулы будет содержать 8 строк ( 2³ ≡ 8). Выпишем из формулы все входящие в ее состав символические записи сложных суждений от отрицания переменных до многочленов в порядке последовательности их исчисления: 1)q; 2)p; 3) r; 4) p & q; 5) r& q; 6) p & r; 7) (p & q) v ( r& q); 8) (р & r) = q; 9) (( р& q) v (r& q) & (( p & r) > q).

Правая часть таблицы 3 истинности будет теперь представлять девять колонок логических значений записанных выше формул. Причем девятая колонка является результирующей для всего нашего суждения. Заполняя колонки, мы, естественно, должны учитывать логические значения частей, из которых состоит данная формула, и правила главного логического союза формулы. Например, в формуле 7 главный логический союз - дизъюнкция, соединяющая два многочлена, логические значения которых исчислены в колонках 4 и 5.

Таблица 3

р	q	r
I I I I	I I I I	I I I I	I I I I	I I I I	I I I I	I I	I I	I I	I I I I	I I I I I I I	I I I I

 

Существует и упрощенный алгоритм составления таблицы истинности: в ее правую часть записывается вся исчисляемая формула, а результаты исчисления входящих в нее многочленов записываются под главными логическими союзами этих многочленов. При этом, естественно, соблюдается последовательность исчисления. Построим по этому алгоритму таблицу 4 истинности для формулы (р ≡ q) > ((rV (q& p)).

 

Таблица 4

 

р	q	r	(р ≡ q) > ((r v (q& p))
I I I I	I I I I	I I I I		I I I I	I I	I I

 

Таблица истинности дает полную картину всех логических значений сложного суждения в зависимости от логических значений суждений, его составляющих. Поэтому интерпретация таблицы истинности позволяет обнаружить такие вытекающие из суждения выводы, сделать которые без исчисления суждения можно лишь путем сложных мыслительных операций.

Проиллюстрируем это примером. Перед нами задача: в совершении преступления подозреваются трое: Браун, Джонс и Смит. На предварительном следствии они дали показания. Браун сказал: " Джонс виновен, а Смит нет". Джонс сказал: " Если Браун виновен, то и Смит виновен". Смит сказал: " Я не виновен, но хотя бы один из них виновен". Совместимы ли показания подозреваемых? Кто виновен, если все трое говорят правду? Если все они невиновны, то кто лжесвидетельствует?

Решить данную задачу конечно же можно, и не прибегая к логическому исчислению. Но в этом случае над ней изрядно придется поломать голову. В рамках же логического исчисления задача решается просто. Обозначим суждения " Браун виновен" - р, " Джонс виновен " - q, " Смит виновен» - r. Символизируем показания подозреваемых. Показание Брауна: q& r. Показание Джонса: р > r. Показание Смита: r & (p v q). Составим одну таблицу истинности для трех полученных формул (табл.5).

 

 

Таблица 5

 

р	q	r	q & r	р > r	r & (p v q)
I I I I	I I I I	I I I I			I I I I I	I	I I I I I I

 

Анализ таблицы истинности позволяет ответить на все вопросы задачи. Ответ на п е р в ы й вопрос: да, показания подозреваемых совместимы, так как в таблице истинности есть строка (третья сверху), в которой логическое значение всех трех формул равно I, то есть все они истинны. Эта же строка позволяет ответить на в т о р о й вопрос. Смотрим в левую часть таблицы, указывающую на то, при каких логических значениях p, q, r соблюдается совместимость показаний. Эти значения таковы: р = 0, q = 1, r = 0. Значит, если все трое говорят правду, то Джонс виновен, а Браун и Смит невиновны. Ответ на т р е т и й вопрос мы находим в первой (сверху) строке таблицы. Если значения p, q, r равны 0, то ложны первое и третье показания – Брауна и Смита.

 

Тема 4. Умозаключение

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: