Понятие функции. Ограниченные функции

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Понятие функции. Ограниченные функции

Пусть X и Y некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что задана функция.

Обозначается где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента обозначается .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами , где .

Способы задания числовой функции:

1) табличный – указываются значения переменной х и соответствующие им значения переменной y, составляется таблица

x	…	…	…	(можно использовать для записи наблюдений);
f(x)	…	…	…

2) аналитический – указывается область определения функции и задается формула, по которой каждому значению ставится в соответствие ;

3) графический – задается график функции.

Периодичность функции

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число что для любой выполняются условия:

Число Т называется периодом функции .

Числа где также будут периодами функции.

Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.

Значения периодической функции повторяются через период Т, следовательно, для построения графика данной функции достаточно построить часть графика на любом из промежутков длины Т (из ), а затем произвести параллельный перенос данной части графика вдоль оси Ох на

Если функция – периодическая и имеет период Т, то функция где A, k и b также периодична, причем ее период равен

Справедливы утверждения:

1) если и – периодические функции с общим периодом Т, то функции – также периодические, с тем же периодом Т;

2) для того, чтобы периодические функции и с периодами Т₁ и Т₂ имеет общий период Т (число Т должно нацело делиться на Т₁ и Т₂) необходимо и достаточно, чтобы отношение было числом рациональным.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) |< = M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Функции нечетные, четные, монотонные

Монотонность функции

Пусть х₁, х₂ – произвольные значения из области функции такие что

Если при данном условии выполняется:

то функция называется возрастающей;

– убывающей;

– неубывающей;

– невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными функциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).

Функция называется кусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Табличным способом.

Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т.е. если .

Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т.е. .

Последовательность называется неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. .

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. .

Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется ограниченной, если существует такие числа m и M, что выполняется неравенство .

Если существует такое число M, что , то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что , то последовательность называется ограниченной снизу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство

Понятие предела функции

Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки (в самой точке данная функция может быть не определена).

Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается:

или

при

Если функция в точке имеет предел, то он единственный.

Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число называется пределом функции при (или ), если для всякой последовательности , (или ) при последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают:

Вычисление пределов

Если функции и имеют пределы в точке , то справедливы формулы:

, где С=const; (3)

(4)

(5)

. (6)

Если непосредственное вычисление предела по формулам (1) – (4) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

, (7)

которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если . Тогда справедливы следующие эквивалентности:

; (17)

; (18)

; (19)

; (20)

; (21)

(22)

(23)

(24)

Односторонние пределы

Левой (правой) полуокрестностью точки называется произвольный интервал , где слева (справа).

Число А называется пределом функции в точке слева (справа), если функция определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

В этом случае пишут

Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Если , то односторонние пределы обозначают , .

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют оба односторонние предела, равные между собой.

В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке

15. Непрерывность функции в точке и на множестве

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке в некоторой ее окрестности и

(27)

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.

Существуют и другие определения непрерывности функции в точке. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке:

(28)

Непрерывность функции в точке определяется также на основе односторонних предметов.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и существует односторонние пределы (конечные) такие, что

(29)

Классификация точек разрыва

Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того, какое условие последнего определения непрерывности (в том числе равенства (29)) нарушено.

Точки разрыва I рода

1. Если существуют односторонние пределы в точке (конечные) и

то называется точкой устранимого разрыва.

2. Если существует односторонние пределы в точке (конечные) и

, (44)

то - точка разрыва, который называется скачок.

В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить в точке значением и она станет непрерывной.

В случае скачка сделать это невозможно.

Точки разрыва II рода

1. Если

или

то – точка разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом случае прямая является вертикальной асимптотой.

2. Если односторонние пределы в точке не существуют (не определены), то - точка неопределенности.

Производная функции в точке

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+D t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+D u = u(t₀+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_D_t_®₀D u/D t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_D_x_®₀D y/D x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

D y = sin(x+D x)-sin x = 2sin(D x/2) cos (x+D x/2).

По определению производной

(sin x)' = lim_D_x_®₀D y/D x = lim_D_x_®₀(cos (x+D x/2)(sin D x/2)/(D x/2)) = =cos x,

так как

lim_D_x_®₀cos (x+D x/2) = cos x.

Таким образом,

(sin x)' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_D_x_®_{0 + 0}D y/D x

lim_D_x_®_{0 - 0}D y/D x,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x> 0. При D x< 0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,

lim_D_x_®_0-0D y/D x =-3, lim_D_x_®₀₊₀D y/D x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.

Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

(u(x)± v(x))' = u'(x)± v'(x).

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)

при условии, что v(x)¹ 0.

Производная сложной функции

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f(f(t)))' = f'(x)f'(t).

(3)

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):

D y =f'(x)D x +a (D x) D x,

где lim_D_x_®₀a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t ¹ 0, будем иметь:

D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.

Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что

lim_D_t_®₀D x/D t = f'(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при D t® 0. Следовательно, lim_D_t_®₀a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^{cos x}(-sin x)ln 5=-5^{cos x}sin x ln 5.

Теорема Ролля

Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка  , такая, что f( ) = 0.

Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a, b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа

Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка  , такая, что

f'( ) = (f(b)-f(a))/(b-a).

(8)

Доказательство. Введем новую функцию

g(x) = f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a).

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка   (a, b), такая, что

g'( ) = f'( )-(f(b)-f(a))/(b-a) = 0.

Отсюда

f'( ) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a, f(a)), B(b, f(b)) кривой y = f(x), а f'( ) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(, f( )). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.

Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.

Данное следствие автоматически следует из формулы (8).

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_x_®_a+₀f(x) или lim_x_®_a-₀f(x)

равен +¥ или -¥.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_x_{® 2+0}1/(x-2) = +¥, lim_x_{® 2-0}1/(x-2) = -¥ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +¥, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a (x),

где lim_x_{® +¥}a (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +¥ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_x_{® +¥}f(x)/x = k, lim_x_{® +¥}(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +¥ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

lim_x_{® +¥}f(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

lim_x_{® +¥}(f(x)-kx) = lim_x_{® +¥}(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +¥. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -¥.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_x_®₃_±₀5x/(x-3) = ±¥.

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_x_{® ±¥}y/x = lim_x_{® ±¥}5x/x(x-3) = 0. b = lim_x_{® ±¥}(y-kx) =lim_x_{® ±¥}5x/(x-3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

//----------------------------------------

Асимптота графика функции - это прямая линия, к которой неограниченно приближается график данной функции, когда его точка неограниченно удаляется от начала координат.

Различают горизонтальную, вертикальную и наклонную асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, графика функции , если

или .

В случае вертикальной асимптоты функция является бесконечно большой в точке .

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если .

Вертикальные асимптоты могут существовать у функций, которые определены не на всей числовой прямой.

Если областью определения функции является вся числовая прямая, то у функции нет вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , при , если

Для нахождения коэффициентов и b применяют следующие формулы:

(25)

(26)

Если хотя бы один из этих пределов равен или не существует, то у функции наклонных асимптот нет.

Если , , то прямая является горизонтальной асимптотой. Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты.

Заметим, что наклонных асимптоты у функции может быть не больше двух, а вертикальных может быть сколько угодно.

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если

lim_x_®_af(x) = lim_x_®_ag(x) = 0.

Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
lim_x_®_af(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x® a-0 (x® a+0), x® ±¥.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x), g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x)¹ 0,

lim_x_®_af(x) = lim_x_®_ag(x) = 0.

Тогда если существует lim_x_®_af'(x)/g'(x), то существует и предел lim_x_®_af(x)/g(x), причем справедливо соотношение

lim_x_®_af(x)/g(x) = lim_x_®_af'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ¥ /¥.

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® ¥. Попробуем применить правило Лопиталя

lim_x_{® ¥}(x+sin x)/(x-sin x) = ¥ /¥ = =lim_x_{® ¥}(x+sin x)'/(x-sin x)' = lim_x_{® ¥} (1+cos x)/(1-cos x),

но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

lim_x_{® ¥}(x+sin x)/(x-sin x) = lim_x_{® ¥} (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x), g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ¥ /¥ часто встречаются неопределенности видов: 0· ¥, ¥ -¥, 1^¥, 0^¥, ¥ ⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ¥ /¥ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1^¥, 0^¥, ¥ ⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f(x)^g^(x),

(9)

где lim_x_{® a}f(x) = 1; 0; ¥, lim_x_{® a}g(x) = ¥; 0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)> 0 )

ln y = g(x)ln f(x).

Последнее выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0· ¥. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ¥ к неопределенности вида 0/0 или ¥ /¥.

Пусть y = f(x)g(x), где lim_x_{® a}f(x) = 0, а lim_x_{® a}g(x) = ¥. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

lim_x_®₀(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_x_®₀(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
lim_x_{® ¥}(e^1/x2-1)/(2arctg x²-p) = 0/0= lim_x_{® ¥}(-2x^-³e^1/x2)/(4x/(1+x⁴)) = lim_x_{® ¥}-e^1/x2(1+x⁴)/2x⁴ = -1/2.
lim_x_®₁(1/ln x-1/(x-1)) = ¥ -¥ = lim_x_®₁ (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_x_®₁(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_x_®₁(x-1)/(xln x+x-1) = lim_x_®₁1/(ln x+2) = 1/2.
lim_x_®₊₀(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim_x_®₊₀ln y = lim lim_x_®₊₀sin xln (1/x). lim_x_®₊₀ln y = lim_x_®₊₀(-ln x)/(1/sin x) = lim_x_®₊₀(-1/x)/(-cos x/sin²x) = lim_x_®₊₀ sin²x/(xcos x) = 0.

Следовательно, lim_x_®₀ y = e⁰ = 1.

Формула Тейлора для функции

Теорема 8 (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x¹ a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

(10)

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x® a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+₁(x) = o((x-a)ⁿ) при x® a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

(11)

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+₁ = o(xⁿ) при x® 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Координаты вектора

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину

Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).

Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов