Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Определение 8. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение 9. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x₁, x₂Î X выполняется неравенство

f(l₁ x₁+l₂x₂)£ l₁f(x₁)+ l₂f(x₂) (f(l₁ x₁+l₂x₂)³ l₁f(x₁)+ l₂f(x₂)),

где l₁³ 0, l₂³ 0, l₁+l₂ = 1.

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.

Справедлива

Теорема 9. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема 10 (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)> 0, xÎ X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)< 0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)³ 0, xÎ X (или f''(x)£ 0 ) xÎ X. Например, функция y = x⁴ выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x² обращается в ноль при x = 0.

Определение 10 (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения.

Теорема 11 (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x₀ равна нулю, т.е. f''(x₀) = 0.

//--------------------

График функции называется вогнутым (выпуклым вниз) на , если дуга кривой на этом интервале расположена выше любой касательной проведенной к графику этой функции (рис. 1).

y

x

a

b

Рис. 1.

 

График функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже любой касательной проведенной к графику этой функции (рис. 2).

y

x

a

b

Рис. 2.

 

Теорема 6. Если функция дважды дифференцируема на и всюду на этом интервале, то график функции вогнут (выпуклый) на .

Точка така, что график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, проходя через , называется точкой перегиба (рис. 3)

y

x

Рис. 3.

 

Для нахождения точек перегиба вначале находят критические точки 2-го рода – те значения x, для которых или не существует. Далее используют достаточные условия перегиба.

Теорема 7 (достаточные условия перегиба).

Если для функции вторая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то – точка перегиба.

Достаточные условия перегиба

Теорема 12 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x₀, в которой f''(x₀) = 0 меняет свой знак, то x₀ есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x₁ функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x₂ функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x₀ касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

Решение. Находим производные

y' = 4x³+3x²-36x+24, y'' = 12x²+6x-36.

Отсюда y'' = 0 при x₁ = -2, x₂ = 3/2. Следовательно, y''> 0 на интервалах (-¥, -2), (3/2, ¥ ) и функция выпукла вниз; y''< 0 на интервале (-2, 3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки x₁ = -2 и x₂ = 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2, -124) и (3/2, -129/16) являются точками перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_{x® a+0}f(x) или lim_{x® a-0}f(x)

равен +¥ или -¥.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_{x® 2+0}1/(x-2) = +¥, lim_{x® 2-0}1/(x-2) = -¥ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +¥, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a (x),

где lim_{x® +¥} a (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +¥ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_{x® +¥} f(x)/x = k, lim_{x® +¥} (f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +¥ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

lim_{x® +¥} f(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

lim_{x® +¥} (f(x)-kx) = lim_{x® +¥} (b+a(x)) = b.

1. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +¥. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -¥.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_{x® 3± 0}5x/(x-3) = ±¥.

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_{x® ±¥} y/x = lim_{x® ±¥} 5x/x(x-3) = 0. b = lim_{x® ±¥} (y-kx) =lim_{x® ±¥} 5x/(x-3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

//----------------------------------------

Асимптота графика функции - это прямая линия, к которой неограниченно приближается график данной функции, когда его точка неограниченно удаляется от начала координат.

Различают горизонтальную, вертикальную и наклонную асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, графика функции , если

или .

В случае вертикальной асимптоты функция является бесконечно большой в точке .

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если .

Вертикальные асимптоты могут существовать у функций, которые определены не на всей числовой прямой.

Если областью определения функции является вся числовая прямая, то у функции нет вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , при , если

.

Для нахождения коэффициентов и b применяют следующие формулы:

(25)

(26)

Если хотя бы один из этих пределов равен или не существует, то у функции наклонных асимптот нет.

Если , , то прямая является горизонтальной асимптотой. Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты.

Заметим, что наклонных асимптоты у функции может быть не больше двух, а вертикальных может быть сколько угодно.

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если

lim_{x® a}f(x) = lim_{x® a}g(x) = 0.

Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
lim_{x® a}f(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x® a-0 (x® a+0), x® ±¥.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x), g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x)¹ 0,

lim_{x® a}f(x) = lim_{x® a}g(x) = 0.

Тогда если существует lim_{x® a}f'(x)/g'(x), то существует и предел lim_{x® a}f(x)/g(x), причем справедливо соотношение

lim_{x® a}f(x)/g(x) = lim_{x® a}f'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ¥ /¥.

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® ¥. Попробуем применить правило Лопиталя

lim_{x® ¥} (x+sin x)/(x-sin x) = ¥ /¥ = =lim_{x® ¥} (x+sin x)'/(x-sin x)' = lim_{x® ¥} (1+cos x)/(1-cos x),

но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

lim_{x® ¥} (x+sin x)/(x-sin x) = lim_{x® ¥} (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x), g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ¥ /¥ часто встречаются неопределенности видов: 0· ¥, ¥ -¥, 1^¥ , 0^¥ , ¥ ⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ¥ /¥ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1^¥ , 0^¥ , ¥ ⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f(x)g(x),

(9)

где lim_{x® a}f(x) = 1; 0; ¥, lim_{x® a}g(x) = ¥; 0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)> 0 )

ln y = g(x)ln f(x).

Последнее выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0· ¥. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ¥ к неопределенности вида 0/0 или ¥ /¥.

Пусть y = f(x)g(x), где lim_{x® a}f(x) = 0, а lim_{x® a}g(x) = ¥. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1. lim_{x® 0}(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_{x® 0}(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
2. lim_{x® ¥} (e^1/x2-1)/(2arctg x²-p) = 0/0= lim_{x® ¥} (-2x^-3e^1/x2)/(4x/(1+x⁴)) = lim_{x® ¥} -e^1/x2(1+x⁴)/2x⁴ = -1/2.
3. lim_{x® 1}(1/ln x-1/(x-1)) = ¥ -¥ = lim_{x® 1} (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_{x® 1}(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_{x® 1}(x-1)/(xln x+x-1) = lim_{x® 1}1/(ln x+2) = 1/2.
4. lim_{x® +0}(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim_{x® +0}ln y = lim lim_{x® +0}sin xln (1/x). lim_{x® +0}ln y = lim_{x® +0}(-ln x)/(1/sin x) = lim_{x® +0}(-1/x)/(-cos x/sin²x) = lim_{x® +0} sin²x/(xcos x) = 0.

Следовательно, lim_{x® 0} y = e⁰ = 1.

Формула Тейлора для функции

Теорема 8 (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x¹ a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

(10)

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x® a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+1(x) = o((x-a)ⁿ) при x® a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

(11)

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+1 = o(xⁿ) при x® 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: