Первый замечательный предел и связанные с ним пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

(8)

Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:

(9)

Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Следствия: аналогично tgx, arcsinx, arctgx

Второй замечательный предел и связанные с ним пределы

Второй замечательный предел:

(10)

или

(11)

Если при , то обобщением формулы (3) является:

(12)

Если , то обобщением формулы (4) является:

(13)

Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если

Функция называется бесконечно большой при , если для всякой последовательности , при , ( или ) последовательность соответствующих значений функции является бесконечно большой.

Обозначают .

Если -- бесконечно большая функция при , то она не имеет предела (предел – это число! ), запись (6) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции

Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые

Две функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если

,

это записывают при .

При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:

Если , и - некоторые функции, определенные в

окрестности точки (на числовой полуоси) и при

, то

. (16)

Формула (16) показывает, что в произведении можно заменять функцию – сомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если . Тогда справедливы следующие эквивалентности:

; (17)

; (18)

; (19)

; (20)

; (21)

(22)

(23)

(24)

Односторонние пределы

Левой (правой) полуокрестностью точки называется произвольный интервал , где слева (справа).

Число А называется пределом функции в точке слева (справа), если функция определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

.

В этом случае пишут

Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Если , то односторонние пределы обозначают , .

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют оба односторонние предела, равные между собой.

В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке

.

15. Непрерывность функции в точке и на множестве

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке в некоторой ее окрестности и

(27)

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.

Существуют и другие определения непрерывности функции в точке. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке:

(28)

Непрерывность функции в точке определяется также на основе односторонних предметов.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и существует односторонние пределы (конечные) такие, что

(29)

Классификация точек разрыва

Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того, какое условие последнего определения непрерывности (в том числе равенства (29)) нарушено.

Точки разрыва I рода

1. Если существуют односторонние пределы в точке (конечные) и

,

то называется точкой устранимого разрыва.

2. Если существует односторонние пределы в точке (конечные) и

, (44)

то - точка разрыва, который называется скачок.

В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить в точке значением и она станет непрерывной.

В случае скачка сделать это невозможно.

Точки разрыва II рода

1. Если

или

 

то – точка разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом случае прямая является вертикальной асимптотой.

2. Если односторонние пределы в точке не существуют (не определены), то - точка неопределенности.

Свойства непрерывных функций

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: