Линейная зависимость векторов

Векторы называются линейно независимыми, если равенство

справедливо тогда и только тогда, когда В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Упорядоченная тройка ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде

где – координаты вектора в базисе (записывают: ).

В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.

Пусть задана тройка некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора до направления вектора , наблюдаемый с конца вектора совершается против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой. В противном случае – левой. Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов.

Совокупность базисных векторов и их общего начала образуют, аффинную систему координат в пространстве. Координаты векторов в таком случае называют аффинными.

Если даны два вектора и в некотором базисе, то

тогда и только тогда, когда

(2)

(3)

В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой. Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают : Прямоугольные декартовы координаты вектора является его проекциями на вектора соответственно.

Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор

Если и , то

.

Линейные операции для векторов и в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам:

; (4)

(5)

(6)

; (7)

. (8)

Направляющими косинусами вектора называются величины , где углы, которые образует вектор соответственно с осями . Их вычисляют по формулам:

(9)

Если единичный вектор, то .

Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:

Скалярное произведение векторов и его свойства

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

.

Скалярное произведение обозначается также .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .

Скалярным квадратом вектора называется величина

.

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть

.

Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

.

Свойства скалярного произведения:

1) – коммутативность;

2) –дистрибутивность;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда ;

5) тогда и только тогда, когда ,

тогда и только тогда, когда

6)

7) .

Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2)

3) тройка векторов – правая.

Векторное произведение обозначают также

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент силы приложенной к точке A, относительно точки O есть векторное произведение векторов и т. е.

.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Если и то

Последнюю формулу удобно записать в виде формального определения третьего порядка:

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: