Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Векторы, линейные операции над векторами



Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка .

Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или , ….

Различают векторы связанные (закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.

Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: ).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: . При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.

Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается . Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.

Пусть заданы два ненулевых вектора . Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы . Под углом между векторами и понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.

Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов .

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) |λ | = |λ | | |;

2) λ ↑ ↑ , если λ > 0,

λ ↑ ↓ , если λ < 0,

λ = , если λ = 0 или = .

Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: .

 


Рис. 1

Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).

 


Рис. 2

Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

 


Рис. 3

Свойства линейных операций над векторами:

1) коммутативность сложения векторов, т. е.

;

2) ассоциативность сложения векторов, т. е.

;

3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ , т. е.

;

дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

;

4) ;

5) ;

6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.

.

 

Вектор называется противоположным вектору .

Разностью векторов и называется вектор

.

Для того чтобы найти разность , необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец - сначалом вектора (рис. 4).

О

 


Рис. 4

Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): ,

С
В
А
О

 

 


Рис. 5

Вектор называется ортом ( единичным вектором ) вектора , если и . Для его нахождения может быть использована формула

.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа такие, что

, .

Говорят, что точка C делит вектор в отношении λ (λ > 0), если =λ .

Координаты вектора

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину

Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).

Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов

.

Если на плоскости заданы точки A(x1, y1), B(x2, y2), то

,

длина

(5)

Пусть тогда единичный вектор (орт) есть

(6)

При этом координаты орта задают направление вектора и называются направляющими косинусами. Если то

. (7)

Если , то верны формулы

(8)

(9)

 

(10)

. (11)

Для коллинеарных векторов выполняется

.

Координаты точки C(xc, yc), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам

(12)


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 462; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.03 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь