Теоремы о пределах числовой последовательности. Согласно определению предела последовательности можно лишь доказать

Согласно определению предела последовательности можно лишь доказать, что определенное число (которое уже найдено) является пределом последовательности.

Для нахождения этого предела используют свойства сходящихся последовательностей и следующую теорему, которая показывает, как находить предел от арифметических операций над последовательностями.

Теорема. Пусть последовательности и имеют пределы, тогда

1. , где – постоянная выносится за знак предела.

2. – предел суммы равен сумме пределов.

3. – предел произведения равен произведению пределов.

4. – предел частного равен частному пределов.

Заметим, что формулы 2 и 3 обобщаются на произвольное конечное число слагаемых или множителей. Если таких слагаемых или множителей бесконечно много, то переход от предела суммы (произведения) к сумм6е (произведению) пределов может привести к ошибке.

При вычислении пределов сначала пробуют непосредственно выяснить, к чему стремиться величина, стоящая под знаком предела, при условии . Для этого используют также указанную теорему.

Если же в результате таких рассуждений приходят к выражениям типа

,

то предел считается не найденным. Говорят, что получена неопределенность одного из этих типов.

Для того, чтобы устранить неопределенность и вычислить предел, необходимо выражение, стоящее под знаком предела преобразовать тождественно, чтобы неопределенность исчезла.

По определению предел является числом. Однако неограниченна последовательность не может стремиться к конечному числу. При возрастании ее значения бесконечно возрастают по модулю и стремятся к или к . В таком случае считаю, что последовательность не имеет предела.

Однако это записывают с помощью символа :

, .

Такие последовательности называют бесконечно большими.

В отношении предела последовательности возможен еще один случай: вообще невозможно определить, к чему стремиться последовательность. Например последовательность .

Таким образом все последовательности делятся следующим образом:

I. Сходящиеся последовательности – имеют предел, равный конечному числу.

II. Расходящиеся последовательности:

1. Бесконечно большие последовательности.

2. Последовательности, для которых предел не определен.

//---------------------

Теорема 1. Если последовательность { a _n } имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность сходилась к числу, a необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a_n=a+α _n, где lim α _n=0.

Теорема 3. Предел алгебраической суммы двух сходящихся последовательностей равен алгебраической сумме пределов этих последовательностей, т.е.

 

6. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞ -∞

Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм:

- Разложение на множители числителя и знаменателя;

- Сокращение дроби.

Неопределенность ∞ -∞ сводится к ∞ /∞

 

7.( В конспекте)

 

Понятие предела функции

Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки (в самой точке данная функция может быть не определена).

Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается:

или

при

 

Если функция в точке имеет предел, то он единственный.

Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число называется пределом функции при (или ), если для всякой последовательности , (или ) при последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают:

.

 

Вычисление пределов

Если функции и имеют пределы в точке , то справедливы формулы:

, где С=const; (3)

(4)

(5)

. (6)

Если непосредственное вычисление предела по формулам (1) – (4) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

, (7)

которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: