Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола

1. Эллипсоид:

2. Гиперболоид

 

1) однополостный:

2) двуполостный:

3. Конус второго порядка:

 

4. Параболоид

1) эллиптический:

2) гиперболический:

 

5. Цилиндр

1) эллиптический:

2) гиперболический:

3) параболический:

 

Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.

– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

– точка (0, 0, 0);

– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

–прямая (ось Oz);

– пара пересекающихся плоскостей;

– пара параллельных плоскостей;

– пустое множество точек;

– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

 

 

Матрицы и действия над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X …. Запись a_ij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца ). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде

или в более компактной форме ,

Ee обозначают также .

При матрицу называют квадратной и обычно обозначают A_n. Элементы a_ii, такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида

, (1)

где , называется диагональной. Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается E_n.

Верхней и нижней треугольной матрицами называются квадратные матрицы вида

или соответственно.

Трапециевидной матрицей называется матрица вида

, где числа a₁₁, a₁₂, …, a_kk отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (2)

называются равными, если для всех .

Суммой матриц (2) называется матрица A+B размера m× n, состоящая из элементов , где .

Произведением матрицы A_{m× n} на число α называется матрица .

Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.

Свойства опреаций сложения матриц и умножения на число:

1)

2)

3) 0·A=О;

4)

5)

6)

7) A и B – матрицы одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы A_{l× m} на матрицу B_{m× n} называется матрица элементы которой

Свойства операции умножения матриц:

1)

2)

3)

4)

В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень ( ) матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии

Матрица A^T, полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, то есть

Свойства операции транспонирования матриц:

1)

2)

3)

4)

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

61. Системы линейных уравнений. Правило Крамера

Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:

(1)

где a_ij и b_j –заданные числа.

Эту систему можно записать в матричной форме

(2)

где – матрица системы состоящая из коэффициентов a_ij,

B – матрица-столбец свободных элементов b_j,

X – матрица-столбец неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (2) в равенство (является решением этого уравнения).

Система (1) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Две системы называются эквивалентными ( равносильными ), если множества их решений совпадают.

Ответ на вопрос о совместимости системы дает теорема Кронера-Копелли: для того чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

где – расширенная матрица системы (1), т.е. матрица свободных членов.

Рассмотрим систему , имеющую вид:

(3)

или в матричном виде

где

Методы решения

Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения

Метод Крамера: для нахождения неизвестных необходимо использовать формулы

(4)

где

– определитель, получаемый из определителя системы (3) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (4) называются формулами Крамера.

Решение произвольной линейной системы (1) из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга. Пусть и система (1) сведена к эквивалентной системе

(5)

Если то система (5) имеет единственное решение, которое можно получить указанными выше методами, если то существует бесконечное множество решений. Для его получения неизвестные x₁, x₂, …, x_r называют базисными, x_r+1, x_r+2, …, x_n – свободными, система (5) записывается в виде:

Последняя система решается, например, методом Крамера.

Метод Гаусса

Для решения произвольных систем используют метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (1) приводят к виду:

Соответствующая ей система, равносильная (1), примет вид:

(6)

Если хотя бы одно из чисел b_{r + 1}, … b_m отлично от нуля, то система (6), а значит, и исходная система (1) несовместны.

Если b_{r + 1} = … = b_m = 0, то система (6) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x₁, …, x_r через свободные неизвестные x_{r + 1}, …, x_n.

Если r = n, то свободные неизвестные отсутствуют, а значит, системы (6) и (1) имеют единственное решение.

На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (1) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.