Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали

Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a, b). Зафиксируем произвольную точку x на (a, b), и зададим приращение  x 0, причем x+ x  (a, b). Пусть точки M, P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+ x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x, f(x)), P(x+ x, f(x+ x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через  ( x).

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при  x 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_{ x 0} ( x) =  ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Справедливо утверждение:

Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке
M( x, f(x)), причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x₀, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x₀ имеет вид

y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x²-x+5 при x = -0, 5.

Решение. Найдем производную в точке x = -0, 5

y' = 4x-1, y'(-0, 5) = -3.

Уравнение касательной имеет вид:

y = 6-3(x+0, 5) или y = -3x+4, 5.

//---------------------------------------

Производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке

где - угол наклона касательной к оси Ox. В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке где имеет вид

(9)

Прямая, проходящая через точку графика функции перпендикулярно касательной, проведённой в этой точке, называется нормалью к графику функции в точке Уравнение нормали имеет вид

(10)

где

Теорема Ролля

Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка  , такая, что f( ) = 0.

Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a, b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа

Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка  , такая, что

f'( ) = (f(b)-f(a))/(b-a).

(8)

Доказательство. Введем новую функцию

g(x) = f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a).

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка   (a, b), такая, что

g'( ) = f'( )-(f(b)-f(a))/(b-a) = 0.

Отсюда

f'( ) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a, f(a)), B(b, f(b)) кривой y = f(x), а f'( ) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(, f( )). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.

Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.

Данное следствие автоматически следует из формулы (8).

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: