Геометрическое определение вероятности

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е. P(A)= .

63. Формулы сложения и умножения вероятностей событий

Теорема 1: Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство: n – число всех исходов испытаний, m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, m₂ – число испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

Р(А + В) = = + = Р(А) + Р(В). Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы: Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n)

Теорема 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Доказательство: Пусть А₁, А₂, …, А_n – полная группа событий. Тогда наступление одного из этих событий – событие достоверное, т.е. Р(А₁ + А₂ + … +А_n) = 1. Но по теореме сложения несовместных событий можно записать:

Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А) = 1.

Следствие из теоремы: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р(Ā ) = 1.

Теорема 3: Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А× В)

Доказательство: m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, m₂ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В, m₃ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению совместных событий А× В, n – число всех исходов испытаний.

Р (А + В) = = = Р(А) + Р(В) – Р(А× В). Ч.т.д.

Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло. Р(А × В) = Р(А) × Р_A(В).

Доказательство: n – число всех исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А, к – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.

Поэтому Р(А × В) = = = = P(A) × PA(B).

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(АВСD) = Р(А)· Р_A(В) ·Р_AB(С) · Р_ABC(D).

Следствия.

Если события независимы, то вероятность события В, при условии, что А наступило.

Р_A(В) = Р(В). Р_A(А) = P(A).

Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А) × Р(В)

Доказательство: Р(АВ) = Р(А) × РА(В) = Р(А) × Р(В).

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(А₁ × А₂ × ... × А_n) = Р(А₁) × Р(А₂) × ... × Р(А_n).

Если события А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, причем Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂, …, Р(А_n) = p_n, и в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одного из них, то вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, : Р(А) = 1 –q₁q₂…q_n.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна Р(А) = 1 -qⁿ.

Схема Бернулли проведения испытаний. Биноминальная вероятность.

Пусть производится серия n независимых испытаний, при чем в каждом отдельном испытании вероятность наступления события постоянна – р и отлична от 1 и нуля (т.е. 0 < р < 1), а не вероятность наступления событий - q.

Определим вероятность того. Что событие наступает m раз и не наступит n –m раз. Один из этих случаев запишется

× = .

Но таких сложных событий будет столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m: Р_n(m) = p^mq^n-m

Если в серии n независимых испытаний вероятность наступления события в каждом отдельном испытании постоянна и равна р, то вероятность того, что событие наступит m раз вычисляется по формуле Бернулли.

Полученная формула Бернулли на практике используется лишь при n < 10, в остальных случаях ее можно заменить другими. Выбор формулы зависит от значений p и q.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: