Тема: «Матрицы, матричный метод решения СЛУ».

Матрицей размера m´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i = ; j = ). Числа a_{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй – на номер столбца. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}.

 

Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

Виды матриц.

 

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´ n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0.

Элементы матрицы с одинаковыми индексами называютэлементами главной диагонали.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n.

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

A^T = ,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

 

Действие над матрицами.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a_{i j}).

Т.е. для того чтобы умножить матрицу A на число l нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.

 

Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

Т.е. чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Или:

=

ПроизведениеАВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

 

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +… + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}.

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

 

Т.е. перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию .

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

находится следующим образом

,

где A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij данной матрицы A.

 

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A и составить матрицу, элементами которой являются числа A_ij.

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А, и умножить её на – это и будет обратная матрица.

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

 

Матричный метод решения СЛУ

Рассмотрим систему, состоящую из n линейных уравнений с n неизвестными:

 

Вводя матрицу коэффициентов перед неизвестными А, матрицу-столбец неизвестных Х и матрицу-столбец свободных членов В, систему можно переписать в матричной форме:

 

Предположим, что матрица А - неособенная, т.е. ‌ А ‌ ≠ 0. Решим матричное уравнение, а следовательно и систему (4) с помощью обратной матрицы А,

 

где, А = * Ặ =>

X = * Ặ =>

 

Для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

 

 

решение запишется в виде:

 

Лекция №3.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: