Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основные правила дифференцирования.
1. Если функции U(x) и (x) дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале , т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций. 2. Если функций U(x) и (х) диффференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале или короче 3. Пусть функции и диференцируемы на интервале (a; b). Если 0, то или короче
. 4. y=CU(x), постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.
Таблица производных
Производные высших порядков Пусть функция дифференцируема отрезке [ a, b ] значения производной , вообще говоря, зависит от х, т. е. производная представляет собой тоже новую функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую производную 2-го порядка или вторую производную от первоначальной функции, и обозначается символом или (х): Пример: Производная от второй производной называется производной 3-го порядка или 3-й производной от функции обозначается через или Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом или . Производная 4, 5 и высших порядков обозначаются также (римские цифры) Пример:
Пример:
Дифференциал. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [a, b] определяется равенством: Отношение при стремиться к определенному числу и следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую: = , где при Умножая последовательно равенство на получим: 1) т.к. в общем случае 0, то при постоянном х и переменном произведение есть бесконечно малая величина первого порядка относительно . Произведение же есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно , т.к. Таким образом, приращение функции состоит из 2-х слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно произведение называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x). Таким образом, если функция y=f(x) имеет произведение на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy
(2) Найдем дифференциал функции y=x, в этом случае , и следовательно, dy = dx = или dx = . Таким образом, дифференциал dx независимого переменного х совпадает с его приращением . Равенство dx = можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независимого переменного, и тогда рассмотренный пример показал бы, что это не противоречит определению дифференциала функций. В любом случае формулу (2) можем записать так:
Но из этого соотношения следует, что Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так: (3) Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно dy и Поэтому в приближенных вычислениях иногда используют приближенное равенство: (4) или в развернутом виде (5) (6) что значительно сокращает вычисления. Пример: Найти дифференциал dy и приращение функции 1) при произвольных значениях х и 2) при х=20, =0 Решение: 1) dy=(x2)’ =2x 2)если х=20, =0, 1 =2*20*0, 1+0, 12=4, 01 dy = 2*20*0, 1=4 Погрешность при замене на dy равна 0.01 (можно считать очень малой по сравнению с 4.01 и пренебречь). Пример : f(x)= , то формула (6) дает: если: х=1, = , то Задача нахождения дифференциала функций равносильна нахождению производной, поэтому основные теоремы и формулы сохраняют свою силу и для дифференциалов. 1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций U и равен сумме дифференциалов этих функций: 2. Дифференциал произведения 2-х дифференцируемых функций U и определяется формулой: 3. Дифференциал частного 2-х дифференцируемых функций U и , причем , определяется формулой: , то dy 4. d(cu)=cdu Пример: 1) 2) 3) , найти dy Представим данную функцию как сложную у = sin U, U= , но т.к. то или Из примера 3) можно записать важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала: форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 305; Нарушение авторского права страницы