Простейшие кривые второго порядка.

Определение. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые аналитически определяются уравнениями второй степени относительно переменных координат Х и У.

 

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид:

 

Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Еу+F=0.

 

К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.

 

Определение. Окружностью радиусаR c центром в т. М называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от точки М.

 

Пусть центр окружности задан в точке О₁(x₁; y₁), радиус равенR. Тогда уравнение окружности принимает вид:

 

( х –x₁) ²+ (у –у₁)²= R²

 

_у

х

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух заданных точек, называемых “фокусами”, есть величина постоянная и равная 2а.

 

– каноническое уравнение

 

 

 

( х² /а² )+(у² /в² )=1–

каноническое уравнение эллипса.

а –большая полуось

в –малая полуось

F₁(-с; о), F₂(с; о)-фокусы.

 

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек плоскости постоянна и равна 2а. Данные точки называются фокусами параболы.

(х² /а²)-(у² /в²)=1-каноническое уравнение гиперболы.

 

 

 

 

 

Прямые у=±(в/а)х называются асимптотами гиперболы.

 

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки равна расстоянию до заданной прямой, не проходящей через данную точку. Данная точка называется фокусом параболы, данная прямая называется директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается р. Канонические уравнение параболы имеют следующий вид:

 

у² =2рх (парабола симметрична относительно оси ОХ)

х² =2ру (парабола симметрична относительно оси ОУ)

 

 

Практические занятия к теме 2.

Задача 1.

 

Даны координаты точек А(1; 2; 3), В(2; -1; 2). Найти вектор АВ и его длину.

 

Решение:

Подставим координаты точек А и В в формулу

 

Задача 2.

 

В треугольнике с вершинами А(5; 4), В(-1; 2), С(5; 1)

Проведена медиана АД. Найти ее длину.

 

Решение:

Точка Д делит отрезок ВС пополам, поэтому ее координаты находятся по следующим

формулам:

;

Д(2; ).

Тогда длина медианы АД равна:

 

Задача 3.

Векторы а и в образуют угол зная, что |а|=3; в|=4, вычислить:

а) а. в,

б) а²

в) (а+в)²

 

Решение:

А) По определению

Б) По свойству 4 получим, что а² =|а|² =3² =9

В) Применяя последовательно свойства 3, 1, 4, получим:

(а+в)² =(а+в)(а+в)=а² +ва+ав+в² = а² +2ав+ в² =9-12+16=13

 

Задача 4

 

Даны векторы а={4; -2; -4}и в={6; -3; 2}. Вычислить а в

 

Решение:

 

Задача 5.

В пространстве даны векторы а={1; 5; 1}и в={1; -5; 2}, с=={2; 1; }. Вычислить их попарные скалярные произведения и по этим произведениям указать, образуют ли они острый, прямой или другой угол.

 

Решение:

Вычислим скалярное произведение векторов через их координаты:

в с=2-5+3=0

Это означает, что векторы а и в образуют тупой угол, а и с – острый угол, а в и с образуют прямой угол

 

Задача 6

 

Определить координаты и длину вектора а в, если а=j; в=2 i-j+ 3k

 

Решение:

Координаты векторов а и в можно записать в следующем виде:

а={0; 1; 0} и в={2; -1; 3}. По формуле векторного произведения в прямоугольных координатах запишем:

 

 

 

Задача 7

 

Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС с вершинами в точках А (2; 1; 0), В(-3; -6; 4), С(-2; 4; 1).

 

Решение:

Рассмотрим векторы АВ={-5; 7; 4} и АС=={-4; 3; 1} (необходимо, чтобы они исходили из одной точки).

 

 

АВ× АС=={-19; -11; -43}.

 

Площадь треугольника АВС равна по величине половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС. Согласно геометрическому смыслу векторного произведения

 

 

Задача 8

 

Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию тройки векторов

 

а={-2; -3; 1}, в={1; 1; 2}, с={3; 1; -1}.

 

Решение:

По формуле

 

Имеем

Векторы а, в, с образуют левую тройку

 

Задача 9

 

Даны две точки А(-2; 3) и В(4; 6). Требуется составить уравнение прямой, проходящие через две данные точки.

 

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки .

 

Подставим координаты точек А и В:

3(х+2)=6(у-3)

 

х+2=2(у-3) х-2у+8=0.

 

Полученное уравнение запишем в общем виде Ах+Ву+С=0, где А=1, В=-2-координаты нормального вектора n={А; В}.

 

Задача 10.

Найти угол, образованный прямыми 3х+у-6=0, 2х-у+5=0.

 

Выпишем , это нормальные вектора прямых. Тогда, чтобы найти угол между прямыми, достаточно найти угол между их параллельными векторами

 

 

 

Задача 11

 

Заданы прямая 2х-у+1=0 и точка М(-1; 2). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М:

 

А) параллельно данной прямой;

Б) перпендикулярно данной прямой.

 

Решение:

Выпишем угловой коэффициент данной прямой, он равен

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом к и точкой, через которую проходит искомая прямая: у-у = .

А) В случае параллельности двух прямых и уравнение искомой прямой

Следующее:

Б) В случае перпендикулярности двух прямых = =- .

И уравнение искомой прямой:

 

Задача 12.

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на их абсциссе, симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5 и 2, построить эллипс.

 

Решение:

По условию а=5, в=2. Каноническое уравнение эллипса

Подставим данные 5 и 2 в уравнение:

Для построения сначала строим вспомогательный прямоугольник со сторонами 2а и 2в. Затем вписываем туда эллипс.

 

 

Контрольные вопросы и задания к теме 2.

1. Определение вектора.

2. Линейные операции над векторами.

3. Координаты вектора, длина вектора.

4. Базис на плоскости, в пространстве.

5. Коллинеарные векторы (определение)

6. Компланарные векторы (определение)

7. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

8. Скалярное произведение векторов.

9. Выражение скалярного произведения в координатной форме.

10. Векторное произведение векторов.

11. Векторное произведение векторов в координатной форме.

12. Геометрический смысл векторного произведения.

13. Смешанное произведение векторов.

14. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

15. Геометрический смысл смешанного произведения.

16. Уравнение линии на плоскости.

17. Общее уравнение прямой.

18. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

19. Определение окружности.

20. Эллипс, определение и каноническое уравнение.

21. Гипербола. Каноническое уравнение параболы.

 

Задачи к теме 2

1. Даны векторы: Определить координаты следующих векторов: а) б)

2. Даны три вершины параллелограмма: А(2; 5; 4), В(0; 1; 0), С(4; 1; 3). Найти координаты четвертой вершины.

 

3. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7; 2; 4), В(4; -2; 2), С(6; -7; 8), Д(9, -1, 10) является квадратом.

 

4. Вычислить, какую работу производит сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора S= {2; -5; }, (Работа = f S ).

 

5. Определить косинус угла между векторами, заданными в пространстве:

 

 

6. Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС в каждом из случаев:

 

А(4; 2; 3), В(5; 7; 0), С(2; 8; -1)

А(6; 5; -1), В(12; 1; 0), С(1; 4; -5).

 

7. Установить, компланарны ли векторы

8. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах

9. Составить уравнение сторон треугольника, зная его вершины А(3; 5), В(6; 1), С(-2; - 3).

По заданному уравнению гиперболы найти ее полуоси, координаты фокусов, уравнение

 

 

ЛЕКЦИЯ №№ 11-14

Производная функции в точке. Таблица производных, правила дифференцирования. Дифференциал функции.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: