Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим функцию у=f(x) и соответствующей ей кривую.

Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М (х; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через угол, который касательная образует с положительным направлением оси ОХ. Дадим независимому переменному приращение , тогда функция получит приращение . Значениям , на кривой будет соответствовать точка . Из находим: , т.к. , то , но согласно определению дифференциала , таким образом .

Последнее равенство означает, что дифференциал функции , соответствующий данным значениям х и , равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке х.

1.

2. Найти приближенные значения функции при исходя из ее точного значения при .

Практические занятия к теме 5.

1. Найти производные следующих функций:

 

Решение:

 

А) Вводя дробные и отрицательные показатели, будем иметь:

Применяя правило дифференцирования степеней функции, получим

,

Б) применяя правило дифференцирования произведения 2-х функций, находим

В) применяем правило дифференцирования дроби,

Г)

 

Если у является функцией от переменной u, a переменная u в свою очередь является функцией от переменной х, т. е. и , то функция называется функцией от функции или сложной функции. Переменная и в этом случае называется промежуточным аргументом. Например, функция является сложной функцией; эту функцию можно представить как: где

Производная сложной функции , где по аргументу х равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу u на производную функции u(x) по независимой переменной х, т. е.

 

2) Найти производные следующих функций:

 

Решение

a)

б)

в)

г) .

д)

е)

ж)

з)

 

3) Найти дифференциалы следующих функций

 

 

Решение

б)

 

Контрольные вопросы и задания к теме 5.

1. Понятие дифференцируемой функции в точке.

2. Понятие производной, обозначение производной.

3. Понятие дифференциала функции, обозначение.

4. Понятие касательной к данной кривой в данной точке.

5. Понятие нормали к данной кривой в данной точке.

6. Геометрический, механический и экономический смысл производной.

7. Геометрический и механический смысл дифференциала.

8. Правила дифференцирования суммы, произведения частных 2-х функций.

9. Таблица производных.

10. Производная от обратной функции.

11. Производная от сложной функции.

12. Что называется производной второго порядка

13. Понятие производной и дифференциала высших порядков.

14.Вычислить производные следующих функций.

1.

2. Найти дифференциалы следующих функций:

3. Найти приближенные значения функции при исходя из ее точного значения при .

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке М(1; -1)

5. Из уравнения кривой найдем производную:

, т.е.

 

Следовательно,

6. Уравнение касательной

или

7. Уравнение нормали

y+1=-4(x-1), или

 

Задания к теме 5.

 

Найти производные функции:

1)

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) ;

39) ;

40) ;

41) ;

42) ;

43) ;

44) ;

45) ;

46) ;

47) ;

48) ;

49) ;

50) ;

51) ;

52) ;

53) ;

54) ;

55) ;

56) ;

57) ;

58) ;

59) ;

60)

61) ;

62) ;

63) ;

64) ;

65) ;

66) ;

67) ;

68) ;

69) ;

70) ;

71) ;

72) ;

73) ;

74) ;

75) ;

76) ;

77) ;

78) ;

79) ;

80) ;

81) ;

82) );

83) ;

84) ;

85) ;

86) ;

87) ;

88) ;

89) ;

90) ;

91) ;

92) ;

93) ;

94) ;

95) ;

96) ;

97) ;

98) ;

99) ;

100) ;

101) ;

102) ;

103) ;

104) ;

105) ;

106) ;

107) ;

108) ;

109) ;

110) ;

111) ;

112) ;

113) ;

114) ;

115) ;

116) ;

117) ;

118) ;

119) ;

120) ;

ЛЕКЦИЯ №№ 15-17

Неопределенный интеграл.

 

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства.

Таблица неопределенных интегралов.

 

Определение: Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x).

 

Например , найти первообразную от функции f(x) = х². Из определения первообразной следует, что

 

, т.к. .

 

Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной. Так в предыдущем примере можно взять в качестве первообразных следующие функции:

 

или вообще ;

(C – произвольная постоянная), т.к.

 

.

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции х² .

Определение: Если функция F(x) является первообразной для f(x), то совокупность всех первообразных F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символами ∫ f(x)dx.

 

Таким образом, по определению ∫ f(x)dx = F(x) + C, если F’(x)=f(x).

При этом функцию f(x) называют подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: