Механический, геометрический, экономический смысл производной.

Рассмотрим 3 задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1.

Вычисление мгновенной скорости неравномерного движения.

Материальная точка движется прямолинейно из начального положения О. Закон ее движения описывается функцией f, выражающей зависимость пути S от времени t.

S=f(t).

Пусть f(t) – путь. Пройденный точкой к моменту времени t,

F(t+∆ t) –путь, пройденный его к моменту времени t+∆ t. Ясно, что за отрезок времени ∆ t точка прошла расстояние, равное

 

∆ S=f(t+∆ t)-f(t) (1)

 

F(t) f(t+∆ t)

 

Разделив ∆ S на ∆ t, получим величину средней скорости, с которой двигалась точка в течение указанного времени:

 

(2)

 

Скорость движения в каждый конкретный момент времени может существенным образом отличаться от средней скорости. Однако, чем короче отрезок времени , тем меньше различие между этими скоростями. Поэтому для получения такой характеристики скорости в момент времени t найдем предел отношения при условии что

( т. е. отрезок стягивается в точку). Если указанный предел существует, то он дает величину скорости в момент времени t:

(3)

 

Задача 2

Угловой коэффициент касательной к графику функции.

Прежде всего, дадим определения секущей и касательной

 

Определение : Прямая, проходящая через точку и называется секущей для кривой .

Пусть теперь т. М₂ вдоль по кривой движется в направлении точки М_1. При этом секущая М₁ М₂ вращается вокруг точки М₁. В момент совпадения М₂ с М₁ она примет некоторое положение М₁ Т. Прямую М₁ Т и будем называть касательной к графику функции в точке М_1.

Определение: Касательная к графику функции в точке М₁ называется предельное положение М₁ Т секущей М₁ М₂ при условии, что т. М₂ вдоль по кривой стремится к М_1.

Вспомним также, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Наша задача заключить в отыскании углового коэффициента касательной.

Когда т. М₂ двигаясь по кривой приближается к точке М₁ , угол наклона секущей М₁ М₂ к положительному направлению оси ОХ стремится к углу наклона касательной к этому направлению. При этом в силу непрерывности тангенса tg будет стремится к tg . Из прямоугольного треугольника М₁ М₂ N следует, что

 

тогда

 

(4)

Задача 3

Предельные издержки производства.

Обозначим через хо объем производства некоторой продукции, а через К – суммарные затраты или издержки производства. Производственная функции (функции затрат) описывает зависимость издержек производства К от объема Х выпускаемой продукции:

 

K= f(x)

 

Если объем производства увеличится на единицу, то затраты возрастут на

единицу.

Средне приращение издержек выражает: .

Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

 

(5)

 

Предел (5) выражает дополнительные затраты по производству продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет х единицу. Что же объединяет эти 3 совершенно разные по содержанию задачи?

Обратимся к равенствам (3), (4), (5). Как видно, решение каждой из задач приводит к необходимости нахождения предела отношение приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

В общем виде схема решения всех рассмотренных выше задач может быть представлена в виде следующих четырех логических шагов:

 

1. аргумент получает приращения

2. это приводит к изменению значения функции

3. вычисляется среднее приращение функции

4. находить

 

По такой же схеме решаются задачи на отыскание плотности тела в данной точке, скорости протекания химической реакции в данный момент времени, скорости изменения спроса на товар при данной цене и т.д.

 

Определение: Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, и если указанный предел существует и конечен, он называется производной функции в данной точке.

 

Обозначается: ; ; ; .

Из определения производной и трех рассмотренных задач вытекает:

1. механический смысл производной в данной точке – мгновенная скорость прямолинейного движения в данный момент;

2. геометрический смысл производной в данной точке – угловой коэффициент касательной к графику функции в данной его точке;

3. экономический смысл производной в данной точке – предельные издержки производства при данном его объеме,

 

Определение: Функции, имеющие производные, называются дифференцируемыми, а процесс нахождения производных – дифференцированием.

 

Из истории: Первые попытки в создании дифференциальных исчислений были сделаны французским математиком и философом Рене Декартом (1596-1650), французским математиком и юристом Пьером Ферма (1601-1665) и другими учеными XVII в. Оформление дифференцируемого исчисления как самостоятельного раздела математики связано с именами английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого ученого, физика, математика, юриста, историка Готфрида Лейбница (1646-1716). (Тейлор, Маклорен, Леонард Эйлер, Коши, Карл Гаусс).

Свое завершение классическое дифференциальное исчисление получило в трудах немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: