Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций

y = F(x) + C.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу.

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существуют первообразные (а значит и неопределенный интеграл)?

На этот вопрос отвечает следующая

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существуют первообразная (а значит и неопределенный интеграл).

Нахождение первообразной и отыскание неопределенного интеграла для функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

 

 

Из определения неопределенного интеграла следуют следующие свойства:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е. (∫ f(x)dx)’ = (F(x)+c)’=f(x)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(∫ f(x)dx) = f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная ∫ dF(x) = F(x)+C.

4. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная С ò F’(x)dx=F(x)+C.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов (если каждый из них существует)

6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫ аf(x)dx = а ∫ f(x)dx.

7. Если ∫ f(x)dx = F(x)+C, то

8. Если ∫ f(x)dx = F(x)+C, то ∫ f(x+b)dx = F(x+b)+C.

9. Если ∫ f(x)dx = F(x)+C, то .

Непосредственно из определения интеграла и таблицы производных вытекает таблица интегралов.

Таблица интегралов.

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.

Рассмотрим примеры:

 

1. (по формуле 1);

2.

3. (свойство 7);

4. (свойство 9);

 

Таблица интегралов записана для переменной интегрирования х, однако она также справедлива, если заменить х на другую переменную, которая может быть и некоторой функцией.

 

Например

 

5. ;

6. ;

Методы интегрирования

Интегрирование функций сводится к применению табличных интегралов. (Решить интеграл – значит свести его к табличному виду). Умение интегрировать состоит в том, чтобы с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подинтегральное выражение к «табличному», или хотя бы сначала упростить. Для этого применяют различные методы интегрирования. Непосредственным методом мы уже прорешали несколько примеров. Один из наиболее применяемых методов – метод подстановки или метод замены переменной.

 

Метод замены переменной.

1. Метод замены переменной при нахождении неопределенного интеграла ∫ f(x)dx состоит в применении формулы:

x=j(t), dx=φ '(t)dt = > ∫ f(x)dx=∫ f[φ (t)]φ ’(t)dt, (1)

где х=φ (t) – дифференцируемая функция.

Формула (1) означает, что нахождение ∫ f(x)dx сводится к нахождению другого интеграла, в котором подынтегральное выражение зависит от переменной t. Он получается заменой переменной по формуле х=φ (t). Однако общего правила выбора функции φ (t) нет.

При удачном выборе этой функции может оказаться, что новый интеграл проще и даже является табличным. В последнем случае выполняют интегрирование и находят первообразную как функцию переменной t. После замены этой переменной ее выражением через х получается искомый интеграл.

 

Покажем применение формулы (1) на примере:

Пример

7. ?

;

 

Метод интегрирования по частям.

В дифференциальном исчислении была получена формула дифференциала произведения двух функций:

d(uv) = udv+vdu

udv = d(uv)-vdu

Проинтегрируем обе части

∫ udv=uv-∫ vdu (2)

 

формула интегрирования по частям, где u=u(x), v=v(x) - функции, зависящие от х. Смысл формулы (2) состоит в том, чтобы в результате ее применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще. Для применения формулы интегрирования по частям, подинтегральное выражение следует разбить на два множителя. Один из них обозначается u, а остальная часть обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du, а интегрированием – функция v. При этом за u следует брать такую часть подинтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv – такую часть подинтегрального выражения, которая легко интегрируется.

 

Пример:

8.

 

Иногда этот метод приходится применять несколько раз, дополняя другие способы интегрирования.

 

9.

= -x²cosx + 2(xsinx-ò sinxdx) =

= -x²cosx + 2xsinx - 2ò sinxdx = -x²cosx + 2xsinx + 2cosx + C;

 

10.

;

 

11.

;

 

Получим

 

 

Решим полученное уравнение относительно интеграла

 

:

;

.

Метод интегрирования по частям применяется при нахождении неопределенных интегралов вида:

 

1. ∫ P(x) e^{α x} dx, ∫ P(x)sinmxdx, ∫ P(x)cosmxdx

2. ∫ P(x)lnxdx, ∫ P(x)arcsinxdx, ∫ P(x)arccosxdx, ∫ P(x)arctgxdx, ∫ P(x)arcctgxdx,

где P(x) означает многочлен n-й степени.

Применяя формулу (2) к интегралам первой группы, за u следует принять многочлен P(x), а за dv – остальную часть подынтегрального выражения. В интегралах второй группы за u принимается lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, а за dv – выражение P(x)dx.

Рассмотренные общие методы интегрирования применяются нешаблонно. Кроме того, часто бывают необходимы предварительные алгебраические преобразования подинтегральной функции. Каждый интеграл требует индивидуального подхода, необходимы определенные навыки в интегрировании, а часто и сообразительность. Однако имеются и типовые приемы преобразований определенных видов или классов подинтегральных функций для приведения их к табличным интегралам или для последующего применения общих методов интегрирования. Рассмотрим интегрирование некоторых видов таких функций: простейших рациональных дробей, простейших иррациональностей и тригонометрических функций.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: