Критерий совместности и единственности решения СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли.

 

Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е. r(A) = r(`A) = r.

 

Для множества М решений системы имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество решений.

 

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений – не меньше числа неизвестных (m³ n); если m> n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0< r< n, то система является неопределенной.

ЛЕКЦИЯ №№ 4-7

Векторы, линейные операции над векторами. Линии первого порядка на плоскости.

 

 

Векторы. Основные понятия и простейшие действия над векторами. Базис и координаты.

 

Определение: Вектором называется направленный отрезок на плоскости или в пространстве.

 

Обозначается а, АВ.

 

 

А А В

 

Длина отрезка АВ называется длиной вектора или его модулем, обозначается │ АВ│, а. Точка А-начальная точка вектора, точка В-конечная точка вектора.

К линейным операциям над векторами относятся операции сложения и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора а и в. Суммой (а+в) векторов а и в называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора в, при условии, что вектор в приложен к концу вектора а.

Правило сложения векторов, которое содержится в этом определении, называется “правилом треугольника”.

в

а

а+в

 

 

Если же два вектораа и в отложить из одной точки и достроить их до параллелограмма, то сумма а+в совпадает с большой диогональю параллелограмма, а разность а-в с меньшей диогональю. Это правило называют правилом параллелограмма.

А в

 

 

Пусть заданы произвольный вектор а и некоторое число λ. Произведением вектора а на число λ называется новый вектор, удовлетворяющий следующим условиям׃

 

1) Если λ > 0, то направление нового вектора совпадает с направлением данного вектора. Если λ < 0, то направление нового вектора противоложно направлению данного вектора.

2) Длина нового вектора равна │ λ │ │ а│. Если а=0 или λ =0, то результатом этого действия является ноль-вектор.

 

Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Условие коллинеарности: вектор а коллинеарен ненулевому вектору в тогда и только тогда, когда существует и причем единственное число λ, что имеет место равенство а =λ ·в.

Пусть даны векторы а₁, а₂,...а_n. Любой вектор вида: α ₁a₁₊α ₂a_2+,...α _na_n, где α _1, α _2,...α _n–некоторые действительные числа, называется линейной комбинацией векторов а_1, а_2,...а_n. Числа α _1, α _2,...α _n называются коэффициентами линейной комбинации. Если а=α ₁a₁₊α ₂a_2+,...α _na_n , то говорят, что вектор а разложен по векторам а_1, а_2,...а_n.

Любая пара неколлинеарных векторов плоскости, взятых в определенном порядке, называется базисом на плоскости.

Справедливо утверждение: любой вектор а на плоскости может быть разложен по векторам ℓ ₁ и ℓ ₂ базиса этой плоскости. Причем это разложение единственно.

Другими словами, или на плоскости выбран базис ℓ ₁, ℓ ₂ и записывается в скобках а порядке следования а={α _1, α ₂}.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.

Справедливо утверждение: любой вектор а в пространстве может быть разложен по векторам ℓ ₁, ℓ _2, ℓ ₃ базиса пространства, причем это разложение единственно.

 

а=α ₁ℓ ₁₊α ₂ℓ _2+,...α ₃ℓ _3.

Пусть в базисе (ℓ ₁, ℓ _2, ℓ ₃) даны векторы а={α _1, α ₂ α ₃ } и в={β _1, β _2, β ₃}. Справедливы следующие правила:

1) Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов, т.е.

 

а+в={ α ₁₊ β ₁; α ₂₊ β ₂; α ₃₊ β ₃}

2) Каждаякоординатаразности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т.е.

 

а-в={ α ₁ -β ₁; α ₂ - β ₂; α ₃ - β ₃}

3) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число, т.е.

 

λ а={ λ α ₁; λ α ₂; λ α ₃}.

 

Базис (ℓ ₁, ℓ _2, ℓ ₃) называется прямоугольным, если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ℓ ₁ =i, ℓ _2, =j, ℓ ₃=k. (i¸ j¸ k-орты)

Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса (ℓ ₁, ℓ _2, ℓ ₃). Точка О называется началом координат; прямые ОХ, ОУ, ОZ, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая-осью абсцисс, вторая-осью ординат, третья-осью аппликат. Плоскости, проходящие через пару координатных осей, называются координатными плоскостями. Декартова система координат на плоскости опредедяется как множество, состоящее из точки О и базиса (ℓ ₁, ℓ _2, ).

Декартова система координат называется прямоугольной, если базис её-прямоугольный.

Пусть А(x₁ ; y₁; z₁) и B(x₁ ; y₁ ; z₁) –две произвольные точки пространства, то координаты вектора АВ равны х =x₂-x₁, у=у₂ -у₁ , z= z₂ - z₁ , т.е.

 

АВ={x₂-x₁; у₂-у₁; z₂-z₁} (1)

Расстояния между двумя точками А(x₁ ; y₁; z₁) и B(x₁ ; y₁ ; z₁) вычисляется по формуле

(2)

В частности, если точка М делит отрезок АВ пополам, то формулы для определения координат точки М записывается следующим образом:

 

х=(х₁+х₂)/2; у=(у₁ +у₂ )/2; z= (z₁ + z₂)/2 (3)

 

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и в называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается а∙ в или (а∙ в), т.е.

 

а∙ в=|а|∙ |в|∙ cosφ (4)

где φ =(а, в), o≤ φ ≤ π.

 

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведения их принимается равным нулю.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: