Интегрирование рациональных дробей.

 

Рациональной дробью называется дробь ,

где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Рациональные дроби называются неправильными, если степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильными, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и некоторой правильной дроби.

 

1. ;

2.

Интегрировать целую часть уже умеем, поэтому ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены 1-ой и 2-ой степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

 

(3)

и

, (4)

 

;

 

Любой интеграл вида (4) сводится к нахождению одного или двух интегралов следующего вида:

 

а.	б.
в.	г.
д.	е.

Поэтому сначала рассмотрим эти интегралы. Интегралы а), б), е) являются табличными.

Интеграл г) решается заменой переменной , dt=dx.

 

Интеграл д) преобразуем:

.

 

Интеграл е) решается также заменой переменной , dt=2xdx, .

 

Отсюда:

 

.

 

Для того, чтобы интегралы вида привести к одному из интегралов группы (5), в знаменателе подинтегральной функции выделяют полный квадрат.

 

Рассмотрим на примерах.

 

12.

13.

интегралы типа д), б) из группы интегралов (5)

 

 

Метод неопределенных коэффициентов в интегрировании рациональных дробей.

 

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби т.е. интеграл .

Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена М(х) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представим в виде суммы простейших дробей, согласно следующей теореме:

Теорема: Если: F(x) = (x-a)^α ....(x-b)^β (x²+px+q)^μ ....(x²+lx+s)^ν , то дробь может быть представлена в виде:

(5)

 

Коэффициенты А, А1, …..В, В1 можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, А1, В, В1, Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях х. Придавая х частные значения, получим уравнение для определения коэффициентов.

Из результатов формулы (5) следует, что вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x).Возможны следующие случаи:

 

1 случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т.е.

f(x) = (x-a)(x-b)....(x-d)

 

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I типа

 

 

2 случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

f(x) = (x-a)^α (x-b)^β ....(x-d)^δ

 

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I и II типов из (5).

 

Пример:

 

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части и приравняем:

 

 

Методом неопределенных коэффициентов найдем:

 

1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)²

1=Ax²+2Ax-Ax-2A+Bx+2B+Cx²-2Cx+C

1=(A+C)x²+(A+B-2C)x+(-2A+2B+C);

 

x² 0=A+C (приравняли коэффициенты)

x¹ 0=A+B-2C (при одинаковых степенях х).

x⁰ 1=-2A+2B+C

 

 

3B=1;

B=1/3;

;

;

 

 

3 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся (т.е. различные):

f(x)=(x²+px+q)....(x²+ls+s)(x-a)^α ....(x-b)^β

 

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.

Пример:

не имеет действительных корней, так как Д< 0.

Подинтегральную функцию разложим на простейшие дроби вида I, III из (5).

 

 

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

 

 

Таким образом,

 

 

Второй интеграл преобразуем, выделив полный квадрат из знаменателя:

 

Тогда:

4 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные

В этом случае дроби будут содержать и простейшие дроби IV типа.

Пример

Пусть х=0, тогда 1= - А;

х=1, тогда 1=В;

х=2, тогда 1=9А+18В+6(2С+D)+(2M+N)2

Интегрирование некоторых тригонометрических выражении.

Интегралы вида

вычисляются с применением формул

 

Пример

2. Интегралы вида , где n и m – целые числа, интегрируются с помощью замен:

№	условия на m, n	подстановка
	m, n – четные положительные числа
	одно из чисел m, n – нечетное и положительное,	от нечетной степени отделяем множитель sinx (или cosx), вносим его под дифференциал, и далее подстановка t = sinx (или t = cos x)
	m, n – четные числа, и одно из них отрицательное
	m, n – четные числа, и оба отрицательные	в числителе положить , где k=1, 2, 3…

 

Пример 1.

= [тип 1] =

Пример 2.

Пример 3.

 

Интеграл типа (2):

Пример 4. Интеграл типа (3):

 

Пример 5. Интеграл типа (4):

Интегралы вида гдеR– рациональная функция.

 

№	дополнительные условия	подстановка
	функция нечетна относительно sinx
	функция нечетна относительно сosx
	функция четна относительно sinx и cosx
	функцию можно привести к виду, зависящему только от
	функция общего вида	универсальная тригонометрическая подстановка

 

Если есть возможность, то рекомендуется использовать подстановки (1-3), так как универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким вычислениям.

Пример 6.

Вычислить интеграл .

 

Решение:

Это интеграл типа (1): и имеем:

 

=

=

=

=

Пример 7.

Вычислить интеграл .

 

Решение:

Это интеграл типа (3):

 

и имеем:

Пример 8 (на тип (3)):

Пример 9.

Вычислить интеграл .

Решение:

Это интеграл типа (4):

Пример 10.

(универсальная тригонометрическая подстановка):

Пример 11. Интеграл типа (5):

Пример12:

Еще один пример на универсальную тригонометрическую подстановку:

=

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: