На основании признака Даламбера

;

Ряд сходится, если

ряд сходится при , расходится при

т.е при ,

 

 

расх сход расход х

 

-5 -1

 

При

 

получаем знакочередующийся ряд Лейбница следовательно в т. ряд сходится.

 

При х = -1

-гармонический ряд, который расходится.

Итак, ряд - сходится при , расходится при .

 

Степенной ряд. Разложение функции в ряд Тейлора-Маклорена.

Если функция допускает в некоторой окрестности точки а раз положение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид:

(1)

При ряд Тейлора называют рядом Маклорена:

Равенство (1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Лагранжа:

;

Необходимо знать следующие пять основных разложений:

I.

II.

III. …

IV.

V.

Пример:

 

Вычислить с точностью до интеграл

путем предварительного разложения подинтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования.

Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя формулу

Ошибка (точность вычисления) не превосходит первого выкидываемого члена полученного ряда, т.е.

Ряд Фурье. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.

Если т.е. ; то существуют числа

; , называемые коэффициентами Фурье функции ;

ряд (1)

называется рядом Фурье функции .

Члены ряда (1) можно записать в вида гармоник:

, где - амплитуда,

частота фаза .

Если же , то коэффициенты Фурье записываются в виде:

; , а ряд Фурье- в виде:

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию на

 

х

π

- 3π - 2π - π π 2π 3π у

 

четная ;

=

; ; ; ; ,

;

При

Практические занятия к теме 11.

Пример 1.

Исследовать сходимость ряда.

 

, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие).

Пример 2.

Разложить в ряд функцию:

 

Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функции; он является аналитически заданием новой функции, но посредством не конечного, а бесконечного числа операций.

Пример 3.

 

Исследовать сходимость ряда.

 

При ряд расходится

То же самое будет и при

Итак, область сходимости данного ряда

Пример 4:

. Разложить в ряд Фурье.

-нечетная. у

 

π

 

 

- 3π - 2π - π π 2π 3π x

 

,

Пример 5.

Исследовать сходимость ряда

т.к. , то ряд расходится.

Контрольные вопросы и задания к теме 11.

1. Определение числового ряда.
2. Сходящийся ряд
3. Расходящийся ряд.
4. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда.
5. Теоремы сравнения.
6. Признак Даламбера.
7. Интегральный признак Коши.
8. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды.
9. Знакочередующие ряды.
10. Теорема Лейбница.
11. Функциональные ряды.
12. Область сходимости ряда.
13. Ряд Тейлора.
14. Необходимое условие разложения функции в ряд Тейлора.
15. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора.
16. Степенной ряд.
17. Теорема Абеля.

Задания к теме 11.

1. Исследовать на сходимость по признакам Даламбера, Коши.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

2. Исследовать на сходимость по признаку Лейбница.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3. Найти интервалы сходимости и определить тип сходимости на концах интервала.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 

ЛЕКЦИЯ №№ 21-24

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения. Основные понятий, определения и уравнения с разделяющими переменными.

Рассмотрим задачу, приводящую к нахождению функции, являющейся решением дифференциального уравнения.

Задача. Найти кривую, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в каждой ее точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение.

Пусть есть уравнение кривой, обладающей в каждой своей точке указанным в задаче свойством. Обозначим через угол, образованный касательной с положительным направлением оси . Как известно, угловой коэффициент касательной есть , и он равен производной от по , так что

(1).

С другой стороны, по условию задачи имеем

В уравнении (3) неизвестная функция стоит под знаком производной или, что одно и то же, уравнение (3) содержит производную от неизвестной функции. Уравнение такого типа, которые содержат производные искомой функции, называются дифференциальными уравнениями.

Решением дифференциального уравнения (3) является первообразная для функции . Например, решением будет (4).

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции и, следующие все решения дифференциального уравнения (3) даются формулой , где - произвольная постоянная.

Получим бесконечное множество решений дифференциального уравнения (3), т.к. каждому конкретному значению соответствует свое решение. В частности, при получаем решение .

 

Определение: Уравнение содержащее независимую переменную Х, искомую функцию У (Х) и её производную У’, У’’, У”’- называется дифференциальным уравнением.

 

Искомая кривая является графиком решения дифференциального уравнения, она называется интегральной кривой.

Таким образом, интегральными кривыми уравнения (3) будут парабола и вне параболы, получающиеся из нее сдвигом по оси на единиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , неизвестную функцию этой переменной и ее производные различных порядков.

 

(1)

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нем.

 

Приведем примеры:

 

1)	Уравнение 4-го порядка
2)	3-го порядка
3)	2-го порядка
4)	2-го порядка
5)	1-го порядка

 

В дифференциальных уравнениях не обязательно должны явно содержаться переменные, функция и производные всех порядков. Примеры это иллюстрируют.

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения - интегральной кривой.

Пример1:

Найти решение уравнения

Решение:

- это и есть решение дифференциального уравнения. Меняя , будем получать различные значения.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется его общее решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее независимых произвольных постоянных, т.е.

(2)

Общим интегралом дифференциального уравнения - го порядка называется его общее решение, выраженное в виде неявной функции.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, в котором произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения.

В примере 1, пусть - частное решение.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид

.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать . В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении функция и ее частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: при .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и при том единственная функция , график которой проходит через точку .

Условие, что при функция должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно записывается в виде .

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (*) и пусть - есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости .

Уравнение (*) для каждой точки с координатами и определяет значение производной , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (*) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости .

Следующая, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (*) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение , называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

Дано: у = f(Х; У)- обыкновенное дифференциальное уравнение 1- ого порядка

f(х; у ) = у(х) = tg - угол наклона

 

 

(х; у) = (2; 1) f(х; у) = 1= tg 45°

 

(х; у)= (3; 2) f(х; у) = -1= tg 135°

 

(х; у) = (5; 7) f(х; у) = √ 3 = tg60°

 

Задано дифференциальное уравнение 1-го порядка - означает, что поле векторов касательно к искомой кривой.

Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка означает восстановить или найти кривую по данному полю векторов.

Решение дифференциальных уравнений - это класс, семейство кривых удовлетворяющих следующим требованиям:

1. При любом С (Х/С) будет решением дифференциального уравнения.

2. Для данного начального условия (Хо; Уо) Fс=Co ф(Х; Со) удовлетворяет данному начальному условию, т.е. f (х; Со): F(Хо; Со) = Уо

Семейство кривых У = f(Х; С) называется общим решением уравнения, если она удовлетворяет условия 1 и 2.

Определение: Частное решение –решение, которое удовлетворяет данному начальному условию (геометрически)-частное решение- это интегральная кривая из семейства проходящее через данную точку.

 

Особые применения

 

 

Общее решение

Определение: Решение называется особым, если: 1. это решение дифференциального уравнения 2. Оно не входит в общее решение.

Особое решение- это такое частное решение, которое не входит в общее решение.

Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: