Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении многих задач требуется найти функции , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент, искомые функции и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

(1)

 

где - искомые функции, - аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему- это значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям. Рассмотрим на примере.

Пример 15:

Проинтегрировать систему при заданных начальных условиях

(б):

(а)

Дифференцируя по первое уравнение, получим: . Подставим из (а) и , тогда

(в).

Из первого уравнения системы (а) найдем (г) и подставим в (в):

 

Пример 16:

 

Дифференцируем первое уравнение по :

 

Из первого и второго уравнения

и

 

Из первого уравнения

, =?

Из второго уравнения

Практические занятия к теме 10.

Пример 1 :

Пример 2 :

Производим замену: .

Тогда

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

2 является корнем характеристического уравнения

, поэтому частное решение ищем

в виде .

 

3. Пусть правая часть уравнения (1)- тригонометрическая функция вида . Тогда и частное решение следует искать в виде

.

Пример 7:

 

Пример 8:

Если же и , то решение находится

в виде , .

Здесь .

 

Если правая часть уравнения (1) представляет сумму рассмотренных типов функций, т.е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.

 

Пример 9:

 

 

Теперь по отдельности: . т.к. является корнем характеристического уравнения, то .

 

 

Пример 10:

Правая часть ,

т.е. или

 

Пример 11:

 

 

- не является корнем характеристического уравнения,

то .

 

Контрольные вопросы и задания к теме 10.

1. Дать определение дифференциального уравнения.

2. Что называется интегральной кривой.

3. Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения.

4. Что называется порядком дифференциального уравнения.

5. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.

6. Частное решение дифференциального уравнения.

7. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка.

8. Теорема о существования и единственности решения дифференциального уравнения.

9. Уравнение Бернулли.

10. Линейные дифференциального уравнения второго порядка.

11. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения.

12. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.

Задания к теме 10.

 

1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

2. Решить однородное дифференциальное уравнение.

3. Решить линейное дифференциальное уравнение.

4. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка.

5. Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Вариант №1.

1.

2.

3. при .

4. при .

5.

Вариант №2.

1.

2.

3.

4.

5.

Вариант №3.

1.

2.

3.

4.

5.

Вариант №4.

1.

2.

3.

4. при .

5. при .

Вариант №5.

1.

2.

3.

4.

5. при при .

 

Планы семинарских (практических) занятий,

планы занятий в рамках СРСП и СРС

Тема: Определители 2, 3 порядков.

Свойства определителей СЛУ, правило Крамера.

Вопросы семинара:

1. Определители 2, 3 порядков.

2. Свойства определителей

3. СЛУ с 2-мя, 3-мя неизвестными

4. Правило Крамера.

5. Определитель 4-го порядка, способы вычисления.

6. Определение минора, алгебраическое дополнение.

Задание: Вычислить определители 2, 3 порядков, вычислить миноры и

алгебраическое дополнение. Дидактический материал имеется в наличии, вариант 1.

Литература: 1, 5, 2.

Методические рекомендации: Обратить особое внимание на правило вычисления определителей 2, 3 порядков, т. к. эта тема является ключевой при решении СЛУ правилом Крамера. Необходимо уметь использовать свойства определителей при их вычислении, правильно находить знак алгебраического дополнения.

 

СРСП 1.

Задание: решить данную систему уравнений методом Крамера.

Задания прилагаются.

Формы проведения: решение задач под руководством преподавателя.

Методические рекомендации:

выбранную систему уравнений решить у доски, с разъяснением

всех возможных частных случаев для главного определителя

Рекомендуемая литература: 1, 5, 2, 4.

 

СРС-1

Задание: 1.решить индивидуальное задание №1 (методом Крамера)

2.Рассмотреть систему m уравнений с n неизвестными.

Методические рекомендации к выполнению : прочитать внимательно лекции, разобрать примеры решенные на СРСП и приступить к своему варианту.

Рекомендуемая литература: 1, 5, 2, 4.

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: