Принятые наименования и обозначения

1. Плоскости проекций:

Горизонтальная - П₁

Фронтальная - П₂

Профильная - П₃

2. Дополнительные плоскости проекций, вводимые при замене плоскостей проукций- П₄, П₅… П_n

3. Начало координат - 0

4. Оси проекции пересечения двух плоскостей проекций.

Так ось пересечения плоскости:

П₁ и П₂ Ох - ось абсцисс

П₁ и П₃ Оу - ось ординат

П₂ и П₃ Оz - ось аппликат

5. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, Е …L, M, N, …

6. Проекции точек:

горизонтальные – А₁, В₁, С₁….L₁…

фронтальные – А₂, В₂, С₂….L₂…

профильные – А₃, В₃, С₃….L₃…

на других дополнительных плоскостях проекций– А_n, В_n, С_n….L_n…

7. Прямые и кривые линии, произвольно расположенные в пространстве относительно плоскостей проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d,..

8. Проекции прямых и кривых линий:

горизонтальные – а₁, b₁, c₁, d₁…

фронтальные – а₂, b₂, c₂, d₂…

профильные – а₃, b₃, c₃, d₃…

на других дополнительных плоскостях проекций– а_n, b_n, c_n, d_n…

9. Линии частного положения и их проекции:

параллельные горизонтальной проекции – горизонталь – h (h₁, h₂ , h₃)

параллельные фронтальной проекции – фронталь – f (f₁, f₂, f₃ )

параллельные профильной проекции – профильная – р (р₁, р₂, p₃ )

проецирующие прямые – i ( i₁, i₂, i₃)

10. Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита: α (альфа), β (бэта), γ ( гамма), δ (дельта), ε ( эпсилон). Λ ( лямда), σ ( сигма), j ( фи)

11. Следы плоскостей:

горизонтальные - α _П1, β _П1…

фронтальные - α _П2, β _П2…

профильные - α _П3, β _П3…

12. ≡ - Совпадение ( А≡ В) – точка А и В совпадают

13. ║ Параллельность (а║ b) – прямые а и b параллельны.

14. ^ Перпендикулярность (а ^ α )- прямая а перпендикулярна плоскости α.

15. Î - Принадлежность (АÎ а) - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а).

16. Ì Включение (взаимная принадлежность) а Ì α – прямая а принадлежит плоскости α.

17. ∩ Пересечение ( А=а∩ α ) – точка А есть точка пересечения прямой а с поверхностью α.

18. Þ Импликация (логическое следование) (а║ с, b║ с Þ а║ b ) – если прямые а и b параллельны прямой с, то они параллельны между собой.

ТОЧКА

Общие сведения

Способ построения комплексного чертежа точки основан на применении метода прямоугольного проецирования. Точку проецируют на три взаимно перпендикулярных плоскости проекций, которые делят пространство на 8 частей - октантов. Их нумерация показана на рис. 1.

Рис. 1 Рис. 2

 

Плоскость П₁располагают горизонтально и называютгоризонтальной плоскостью проекций.

Плоскость П₂располагают вертикально перед наблюдателем и называютфронтальной плоскостью проекций.

Плоскость П₃располагают вертикально и перпендикулярно двум, П₁ и П₂, плоскостям. Ее называютпрофильной плоскостью проекций.

Пользоваться данной пространственной моделью для изображения ортогональных проекций геометрических объектов неудобно, поэтому его преобразуют в эпюр (рис.2) следующим образом: горизонтальную и профильную плоскости проекций совмещают с фронтальной путем поворота плоскости П₁ на 90º вокруг оси x по часовой стрелке и плоскости П₃на 90º вокруг оси z против часовой стрелки.

Эпюр - чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Примеры решения задач

Задача №1. По заданным координатам построить наглядное изображение точек А и В и их эпюры. Для построения каждой точки выполнить отдельный чертеж. Определить положение точек относительно плоскостей проекций.

 

а) А (40, 30, 50)

Рис. 3 Рис. 4

 

Точка А находится в I октанте и удалена от горизонтальной плоскости проекций на 50 мм, от фронтальной плоскости проекций - на 30 мм, от профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 3, 4).

 

б) В (40, 0, 30)

Рис. 5 Рис. 6

 

Точка В П₂, удалена от горизонтальной плоскости проекций на 30 мм, от профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 5, 6).

 

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

Вопросы для подготовки

1. Метод центрального проецирования. Его основные элементы и область применения.

2. Метод параллельного проецирования и его основные свойства.

3. Сущность метода Монжа. Комплексный чертеж точки в системе двух и трех плоскостей проекций.

4. Как образуются четверти и октанты пространства?

5. Какие координаты определяют горизонтальную, фронтальную и профильную проекцию точки?

6. Особенности изображения на комплексном чертеже точек, расположенных в различных четвертях и октантах пространства.

7. Условия связи между проекциями точки на комплексном чертеже.

Задачи

1.1. По наглядному изображению точек A, B, C, D, E, F, G определить и записать их координаты. Построить комплексный чертеж точек в системе двух плоскостей проекций.

 

 

 

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

1.2. По двум заданным проекциям точек A, B, C, D, E, F, G построить третью. Измерить и записать координаты точек; определить, в какой части пространства расположены точки. Построить наглядные изображения точек.

 

 

Точки	A	B	C	D	E	F	G
x
У
z
Октант

 

 

1.3. Построить проекции точки В, расположенной на 10 мм ближе к плоскости П₁ и на 20 мм дальше от плоскости П₂, чем заданная точка А(30, 10, 25). Постройте наглядное изображение точек.

 

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

1.4. По двум заданным проекциям точек построить третью. Определить, в каком октанте пространства расположена точка.

 

 

Точки	A	B	C	D	E	F
Октант

 

1.5. Задана точкаА(15, 20, 30). Построить проекции точек, симметричных точке А:

В - относительно плоскости П₁,

С -относительно плоскости П₂,

D - относительно оси проекций Оx,

Е - относительно начала координат.

 

ЛИНИЯ

Общие сведения

Линию следует рассматривать как траекторию перемещения точки. Линии могут быть пространственные и плоские.

Пространственными линиями называют линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости.

Линии, у которых все точки принадлежат одной плоскости, называют плоскими.

Простейшей линией является прямая. При ортогональном проецировании, в общем случае, на плоскость прямая проецируется в прямую. Поэтому для определения её проекции достаточно знать проекции двух нетождественных точек, принадлежащих этой прямой.

Прямая может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:

1. Прямыеобщего положения - это прямые не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.

Модель Эпюр

 

2. Прямыечастного положения;

а) прямые уровня - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций;

Горизонтальная прямая уровня h CD || П₁

Модель Эпюр

Фронтальная прямая уровня f EF || П₂

Модель Эпюр

Профильная прямая уровня p MN || П₃

Модель Эпюр

a - угол наклона прямой к П₁;

b - угол наклона прямой к П₂;

g - угол наклона прямой к П₃;

б) проецирующие прямые - прямые, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций и параллельные к другим двум;

Горизонтально – проецирующая прямая KL ^ П₁

Модель Эпюр

Фронтально - проецирующая прямая HG ^ П₂

Модель Эпюр

Профильно - проецирующая прямая PQ ^ П₃

Модель Эпюр

 

в) прямые, принадлежащие плоскости проекций - частный случай прямых уровня.

След прямой - это точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называют горизонтальным следом прямой, с фронтальной - фронтальным следом прямой, с профильной - профильным следом прямой.

Модель Эпюр

N – фронтальный след прямой, M – горизонтальный след прямой.

Положение горизонтального и фронтального следов прямой определяет, какие четверти пространства пересекает прямая.

Прямая частного положения не пересекает все три плоскости и не имеет следа на той плоскости, которой она параллельна.

В частности горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа, фронтальная прямая не имеет фронтального следа, горизонтально-проецирующая прямая не имеет фронтального и профильного следов и т. д.

По взаимному положению прямых в пространстве они подразделяются на:

· совпадающие;

· пересекающиеся прямые;

· параллельные прямые;

· скрещивающиеся прямые.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой в пространстве. Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи.

На скрещивающихся прямых можно выделить конкурирующие точки, т. е. такие, проекции которых на одной из плоскостей совпадают.

Анализ положения конкурирующих точек позволяет определить, какая из изображенных на чертеже точек прямой ближе другой к наблюдателю.

Рис.7

В нашем примере (рис.7) на фронтальной плоскости проекций конкурируют точки А и В, при проецировании их на горизонтальную плоскость проекций точка А расположена ближе к наблюдателю и координата y у нее больше, следовательно, на фронтальной плоскости проекций точка В будет невидима. Точки С и D конкурируют на горизонтальной плоскости проекций. По направлению взгляда мы видим, что точка С расположена выше (координата z больше), а следовательно, на горизонтальной плоскости проекций точка D будет невидима.

Примеры решения задач

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: