Взаимное пересечение поверхностей

Общие сведения

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений перемещающейся в пространстве линии, которую называют образующей поверхности. Поверхности, образованные с помощью прямой линии, называются линейчатыми. Поверхности, в образовании которых участвовала криволинейная образующая, называются нелинейчатыми.

Рис. 37

Поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной прямой (оси вращения) называется поверхностью вращения. Поверхность вращения общего вида приведена на рисунке 37. При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность. Плоскости, перпендикулярные к оси вращения, пересекают поверхность вращения по окружностям, которые называют параллелями. Параллель наибольшего диаметра называют экватором, а наименьшего – горловиной поверхности. Линия, полученная пересечением поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения, называется меридианом поверхности. Меридиан, полученный плоскостью, параллельной фронтальной плоскости проекций, называют главным меридианом.

В общем случае две поверхности пересекаются по некоторой пространственной кривой линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому для построения линии пересечения двух поверхностей необходимо найти ряд таких общих точек и соединить их плавной кривой.

Построение линии пересечения поверхностей осуществляется с помощью вспомогательных секущих поверхностей (плоскостей или сфер) (рис. 38).

 

Рис. 38 – Метод вспомогательных секущих поверхностей

 

Сущность способа состоит в том, что заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью и находят линии, по которым вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. На пересечении полученных линий находятся искомые точки, принадлежащие одновременно обеим заданным поверхностям. Вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы линии пересечения этой поверхности с каждой из заданных проецировалась на одну из плоскостей проекций в виде прямой линии или окружности.

Построение линии пересечения поверхностей начинают с построения характерных (опорных) точек. Это экстремальные точки (удаленные на максимальное и минимальное расстояния от плоскостей проекций) и точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые определяют границы видимости проекций кривой. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии пересечения поверхностей.

Если одна или обе заданные поверхности занимают проецирующее положение, то решение задачи упрощается из-за того, что одна из проекций линии пересечения будет совпадать со следом проецирующей поверхности, которая входит в условие задачи. Решение сводится к определению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна ее проекция и указаны проекции поверхности.

При решении задач на построение линии пересечения поверхностей в качестве вспомогательных плоскостей выбирают проецирующие плоскости (часто плоскости уровня) или плоскости, вращающиеся вокруг прямой («пучок» плоскостей).

Применение вспомогательных секущих сфер обосновано тем, что сфера пересекает любую поверхность вращения по окружностям, если ее центр находится на оси вращения этой поверхности.

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, т.е. имеется общая плоскость симметрии. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость симметрии была параллельна одной из плоскостей проекций.

Примеры решения задач

Задача 1. Построить линию пересечения цилиндрической и сферической поверхностей (рис. 39), если цилиндрическая поверхность является горизонтально - проецирующей.

Точки 1 и 2 расположены в основаниях поверхностей, точка 3 – крайняя правая на линии пересечения. Она является также границей видимости. Зная горизонтальную проекцию точки 31 на поверхности сферы, найдем ее фронтальную проекцию 32 с помощью окружности радиусом R. Точка 4 является наивысшей точкой линии пересечения, она ближайшая к вертикальной оси поверхности сферы, находится аналогичным способом. Точка 5 принадлежит главному меридиану сферы. Точки 1, 2, 3, 4, 5 являются опорными (характерными) точками линии пересечения поверхностей. Для более точного построения искомой линии построим промежуточную точку 6.

 

Рис. 39

Задача 2. Построить линию пересечения конуса и сферы (рис. 40).

 

Рис. 40

Для решения могут быть использованы горизонтальные плоскости уровня, пересекающие обе поверхности по окружностям.

Определяем верхнюю А и нижнюю В опорные точки (на пересечении главных меридианов поверхностей). Эти точки устанавливают границы, в которых следует проводить вспомогательные секущие плоскости. Найдем точки С и С′ – точки пересечения экватора сферы с поверхностью конуса. Для этого проведем плоскость Σ, которая пересекает сферу по экватору m, конус – по параллели n. Окружности m и n, пересекаясь, определяют горизонтальные проекции точки С1 и С1′. Фронтальные проекции этих точек находятся на фронтальном следе секущей плоскости Σ 2.

Промежуточные точки определим с помощью плоскости Г, которая пересекает сферу по окружности m′, конус – по окружности n′. Пересекаясь, эти окружности дают пару точек D и D′, принадлежащих линии пересечения поверхностей. Найденные точки соединяем плавной кривой линией.

Задача 3. Построить линию пересечения двух конусов (рис. 41).

Вначале находим опорные точки A, B, C, D. Точки А и В определяются как точки пересечения главных меридианов поверхностей. По фронтальным проекциям точек А₂ и В₂ определяем их горизонтальные проекции A₁ и B₁. Точки С и D, определяющие границы видимости, на горизонтальной проекции можно найти с помощью плоскости Σ, параллельной горизонтальной плоскости проекций П₁. Она пересекает конус с горизонтальной осью по горизонтальным очерковым образующим, а конус с вертикальной осью – по окружности радиуса r. В пересечении горизонтальных проекций найденных линий находим точки C₁ и D₁. Затем определяются их фронтальные проекции С₂ и D₂.

Для дальнейшего решения задачи необходимо воспользоваться методом вспомогательных секущих концентрических сфер. Центр вспомогательных сфер определяется в точке пересечении осей конусов – точке О(О₂).

Определим предел изменения радиуса секущих сфер. Для нахождения минимального радиуса секущей сферы проведем на фронтальной проекции перпендикуляры а₂ и b₂ к очерковым образующим поверхностей. Максимальный из этих перпендикуляров определяет минимальный радиус секущей сферы: R_min = O₂N₂.

Проводим сферу радиусом Rmin. Данная сфера имеет с вертикальным конусом одну общую окружность с, конус с горизонтальной осью она пересекает по окружности d. На плоскость П₂ данные окружности проецируются в виде отрезков прямых. В пересечении окружностей с и d определяем пару точек Е и Е′.

 

Рис. 41

 

Максимальный радиус секущей сферы равен расстоянию от центра сферы до наиболее удаленной точки на очерковой образующей, принадлежащей обеим поверхностям: Rmax = O2В2.

С помощью сферы промежуточного радиуса найдем точки F и F′.

Соединив полученные точки, получим проекции линии пересечения поверхностей.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: