Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей, двух прямых

Общие сведения

Перпендикулярность прямой и плоскости - частный случай пересечения прямой с плоскостью.

Прямая перпендикулярна плоскости в том случае, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В качестве пересекающихся прямых следует использовать горизонталь и фронталь плоскости. На основании теоремы о проекции прямого угла на плоскость горизонтальная проекция перпендикуляра проецируется перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра - перпендикулярно фронтальной проекции фронтали.

На рис.15 прямая l перпендикулярна плоскости заданной треугольником ABC. Следовательно, на фронтальной плоскости проекций П₂ фронтальная проекция прямой (l₂) перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (f₂), а горизонтальная проекция прямой (l₁) перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (h₁).

Рис. 15

Определение расстояний от точки до плоскости в начертательной геометрии осуществляют на основании свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Решение задачи распадается на три этапа:

1) в плоскости проводят горизонталь и фронталь (на рис.16 плоскость задана горизонталью и фронталью);

2) из точки А опускают перпендикуляр l на плоскость
(l₂ ^ f₂, l₁ ^ h₁);

3) построить точку К пересечения перпендикуляра l с плоскостью:

а) l Î d, d ^ П₂;

б) d Ç a = [1- 2];

в) [l-2] Ç l = K

4) методом прямоугольного треугольника определить натуральную величину отрезка АК (отрезок А°К₂).

Рис. 16

Если же требуется найти точку X, удаленную от плоскости на определенное расстояние, то необходимо:

1) из точки А (рис.17), расположенной в плоскости треугольника ABC, восставить перпендикуляр AM произвольной длины (А₂М₂ ^ f₂, А₁М₁ ^ h₁);

2) методом прямоугольного треугольника найти натуральную величину перпендикуляра AM (A₁M°);

3) на отрезке A₁M° от точки A₁ отложить отрезок A₁L° = 30 мм и спроецировать точку L° на проекции перпендикуляра (проекции A₁L₁ и A₂L₂).

Рис. 17

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

На рис.18 плоскость b заданная пересекающимися прямыми l и k, перпендикулярна плоскости a, заданной следами. Прямая l является перпендикуляром к плоскости a, а прямая к - прямой общего положения:

a ^ b (l Ç k), т.к. l ^ a (l₁ ^ h°₁, l₂ ^ f°₂).

Рис. 18

 

Примеры решения задач

Задача №1. Через прямую DE провести плоскость перпендикулярную ABC. Построить линию пересечения плоскостей, обозначив видимость (пример на рис. 19).

Рис. 19

Решение задачи состоит из трех этапов.

1. Для построения плоскости, перпендикулярной к плоскости АВС и проходящей через прямую DE, необходимо через точку D провести прямую, перпендикулярную к фронтали и горизонтали DL. Эти две пересекающиеся прямые составляют плоскость, перпендикулярную к плоскости АВС.

2. Строят линию пересечения двух плоскостей способом построения точек пересечения прямой с плоскостью (определение точки К). Прямую DL заключают во фронтально-проецирующую плоскость П₂ и определяют линию пересечения плоскостей Р и АВС – это линия 12. Точка К – точка пересечения линий DL и 12. Прямую DЕ заключают в горизонтально-проецирующую плоскость Q и определяют линию пересечения плоскостей Q и АВС – это линия 34. Точка М – результат пересечения линий DЕ и 34. Прямая КМ является линией пересечения плоскостей.

3. Определяют видимость пересекающихся плоскостей методом конкурирующих точек. Для этого выбирают две скрещивающиеся на фронтальной плоскости проекций прямые DL и АВ. Точки 1 и 5, принадлежащие им, совпадают. Видимой будет та точка, у которой координата Y больше. Значит, на фронтальной плоскости проекций прямая DL до линии пересечения будет видима. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций выбирают две точки 4 ≡ 6 принадлежащие DE и СВ, координата Z точки 4 больше – значит, прямая CВ до линии пересечения будет видимой.

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

 

Вопросы для подготовки

1. Каково условие взаимной перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, двух прямых?

2. Какое условие перпендикулярности прямой к плоскости на комплексном чертеже? Как построить проекции прямой, перпендикулярной плоскости?

3. По какому алгоритму в общем случае решается задача построения двух взаимно перпендикулярных плоскостей?

 

Задачи

 

 

4.1. Определить расстояние от точки К до плоскости S частного положения.

 

 

 

4.2. Провести через точкуК прямуюm перпендикулярную к плоскостиS(АВС).	4.3. Провести через точкуК плоскость S(h, f ), перпендикулярную к прямой m.

Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости: _____________________________

 

 

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

4.4 Определить расстояние от точки К до плоскости S(АВС). Записать план решения задачи.

 

 

4.5. Построить горизонтальную проекцию прямой b, перпендикулярной к прямой а. К- точка пересечения прямых а и b.	4.6. Достроить недостающую проекцию треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна к плоскости S(S1, S2).

5. Способы преобразования чертежа. Замена плоскостей проекций

Общие сведения

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положении.

Рассмотрим способ замены плоскостей проекций на четырёх примерах.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: