Группа симметрии трехмерного сферически симметричного пространства

Из большого числа различных преобразований системы координат ограничимся только линейными преобразованиями, т.е. такими, которые связывают старые и новые координаты линейной формулой:

(1.2)

 

Это является предположением, но если предположение об однородности пространства подтверждается непосредственно экспериментальным путём, то линейность преобразований подтверждается только непротиворечивостью получаемых результатов действительности.

Преобразования (1. 2) можно характеризовать таблицей из девяти чисел, или матрицей:

(1.3) .

Теперь необходимо определить ограничения на значения этих девяти чисел, которые накладываются сферической симметрией пространства или элементами симметрии инварианта (1.1).

Уравнение инвариантности можно записать как

(1.4) .

Подставляя в (1.4) выражения новых координат (1. 2), получим

(1.5) .

Для выполнения равенства (1.5) необходимо, чтобы в левой и правой частях равенства коэффициенты при одинаковых степенях координат были равны. Так, равенство коэффициентов при x², y², z² дает следующие равенства:

(1.6)

Или в общем виде (1.6) будет

(1.7)

Равенство коэффициентов при произведениях xy, yz, zx дает следующие шесть уравнений

(1.8)

которые в общем виде можно записать:

(1.9)

Теперь равенства (7), (9) можно объединить:

 

(1.10)

 

Матрицы, коэффициенты строк и столбцов которых удовлетворяют соотношению (1.10) называются ортогональными матрицами, а преобразования системы координат – ортогональными преобразованиями. Из свойств ортогональности следует следующее важное свойство: определитель таких матриц равен ±1.

Это свойство определяет, почему все ортогональные преобразования образуют группу. Произведение двух любых ортогональных преобразований с определителем равным единице дает ортогональное преобразование также с определителем равным ±1, поскольку при произведении двух матриц определители перемножаются. Число таких преобразований бесконечно, поэтому такую группу называют бесконечной или непрерывной.

Среды, уравнения состояния которых инвариантны относительно ортогональных преобразований, являются изотропными и наоборот.

Есть свойства веществ, которые инвариантны не только относительно ортогональных преобразований, но и относительно других преобразований, с определителями равными и не равными единице. Свойства, которые не зависят от координат в пространстве, инвариантны относительно любых преобразований системы координат, а не только с определителем равным единице. Эти свойства описываются унитарными группами, для которых группа ортогональных преобразования находится внутри этой группы или является её подгруппой. Это можно записать следующим выражением:

(1.11)

Поэтому, если свойство инвариантно относительно группы унитарных преобразований, то оно имеет более высокую симметрию, чем симметрия сферы.

Это можно пояснить на примере формулы Эйнштейна для массы:

(1.12)

Поскольку масса m зависит от квадрата вектора скорости, то ее симметрия определяется симметрией этой величины или ортогональной группой О₃. Масса покоя является более симметричной величиной и ее симметрия определяется группой унитарных преобразований U₃. Разлагая формулу (1.12) в ряд, получим

(1.13)

Первая составляющая имеет унитарную симметрию, остальные – имеют ортогональную симметрию.

Можно отметить, что ряд (1.13) следует только из соображения симметрии, а формула (1.12) определяет значения коэффициентов в этом ряду.

1.3 Матрицы ортогональных преобразований

Простейшие виды матриц ортогональных преобразований следующие.

1.Тождественное преобразование. Это преобразование характеризуется единичной матрицей, при которой координаты не меняются: x¢ =x, y¢ =y, z¢ =z, т.е.

(1.14) .

2.Преобразование инверсии: x¢ = - x, y¢ = - y, z¢ = - z, т.е.

(1.15)

Поворот системы координат вокруг оси z: C_z(j) характеризуется ортогональной матрицей следующего вида:

(1.16)

c=сosj, s=sinj.

Определитель матрицы поворотов равен +1. Такие преобразования называются собственными или чистыми вращениями. В преобразовании (1.16) принята правая система координат и поворот происходит против часовой стрелки.

Повороты вокруг осей x: C_x(j) и y: C_y(j) описываются следующими матрицами

(1.17) , .

Сочетание поворота и инверсии дают несобственные вращения или зеркально поворотные преобразования. Определитель матриц таких преобразований равен –1. Поскольку при перемножении матриц определитель перемножаются, то можно записать несколько простых правил для собственных и несобственных преобразований.

1. Никакая комбинация собственных преобразований не может быть представлена в виде несобственного преобразования. Проще говоря, такие преобразования как инверсия или зеркальные отражения не могут быть представлены в виде комбинации чистых поворотов.

2. Два несобственных преобразования дает собственное преобразование

3. Комбинация собственного и несобственного преобразования дает несобственное преобразование.

4. Матрицы несобственных преобразований получаются перемножением матриц собственных преобразований на инверсию или изменением знаков всех элементов.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: