Разложение не нормированных представлений на нормированные

 

Можно получать на другом базисе другие представления, однако нормировка для этих представлений не будет равна единице. Если нормировка этого представления равна 2, то это представление является суммой двух нормированных представлений, если нормировка равна 3, то в разложении содержится три нормированных представления. Нормированные представления называются также неприводимыми представлениями, а не нормированные - приводимыми представлениями.

Для каждого элемента симметрии характер приводимого представления равняется сумме характеров нормированных представлений: c(G)=Sa_ac^a(G), где суммирование ведётся по нормированным представлениям и a_a-число повторений представлений a в разложении. Если умножить обе стороны равенства на характер нормированного представления b и просуммировать по всем элементам симметрии группы, можно получить:

(1.25) .

В практическом применении этой теории часто встречается необходимость определить сколько раз в разложении содержится представление инварианта или единичное нормированное представление, для которого c^inv(G)=1 для всех элементов G.

.

1.9 Группа перестановок Р₃ и группа инверсий

Мы видели, что точечную группу О_h можно представить как произведение двух групп: группы перестановок трёх координатных осей Р₃ и группу инверсий осей координат. Группа перестановок имеет следующие подгруппы:

 

· Группа перестановок трёх осей: Р₃ 123, 213, 321, 132, 231, 312.

· Группа двойных перестановок трёх осей: Р₃² 123, 231, 312.

· Группы перестановки двух осей: Р_2z (123, 213); Р_2x (123, 132); Р_2y (123, 321)

· Группа без перестановок Р₁: 123

 

Группа инверсий I₃ состоит из 8 элементов: 123, 123, 123, 123, 123, 123, 123, 123.

Подгруппы этой группы:

· Группа двойных инверсий I₂ состоит из элементов 123, 123, 123, 123.

· Группа инверсии трёх осей I_3i состоит из элементов 123, 123.

· Группа инверсии одной оси: I_1x123, 123; I_1y123, 123; I_1z123, 123;

· Группа инверсии двух осей: I_2xy123, 123.

Группу куба можно представить произведением двух групп: P₃× I₃. Остальные группы кубической сингонии также представляются произведение групп перестановок и групп инверсий. O_h= P₃× I₃; T_d= P₃× I₂; T_h= P₃²× I₃; Т= P₃²× I₂.

Точечные группы кубической сингонии

К кубической сингонии относятся группы, имеющие несколько осей симметрии с порядком больше двух.

Эти все группы являются подгруппами группы О_h.

Группа тетраэдра Тd.

Инвариант этой группы xyz.

Этот инвариант из всех элементов симметрии группы О_h оставляет только элементы с чётными инверсиями.

Табл. 1‑ 4. Элементы симметрии группы тетраэдра Т_d (43m)

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100]

213S2[110] 213S2[110] 213S41[001] 213S43[001]

321 S2[101] 321S43[010] 321 S2[101] 321S41[010]

132 S2[011] 132S41[100] 132S43[100] 132 S2[011]

231C31[111] 231C32[111] 231C32[111] 231C31[111]

312С32[111] 312С31[111] 312С32[111] 312С31[111]

 

Группа октаэдра О(432)

Это группа чистых вращений, т.е. из всех элементов симметрии группы О_h нужно оставить только элементы с определителями матриц равными единице.

Табл. 1‑ 5.Элементы симметрии группы октаэдра О

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100]

213C43[001] 213C41[001] 213C2[110] 213C2[110]

321C41[010] 321 C2[101] 321C43[010] 321 C2[101]

132 C2[011] 132C43[100] 132C41[100] 132 C2[011]

231C31[111] 231C32[111] 231C32[111] 231C31[111]

312С32[111] 312С31[111] 312С32[111] 312С31[111]

 

Группа чистых вращений тетраэдра Т(23)

Из всех элементов симметрии группы Т_d надо оставить только элементы с определителями равными единице.

 

Табл. 1‑ 6.Элементы симметрии группы чистых вращений тетраэдра Т

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100]

231C31[111] 231C32[111] 231C32[111] 231C31[111]

312С32[111] 312С31[111] 312С32[111] 312С31[111]

 

Группы тетраэдра с центром симметрии Тh

Для получения элементов симметрии этой группы необходимо ввести в группу Т инверсию. Число элементов удвоится так как к элементам группы Т прибавятся элементы произведения Т × I.

Табл. 1‑ 7. Элементы симметрии группы куба Т_h.(m3)

 

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100] 123S42[100] 123S42[010] 123S42[001] 123 I

231C31[111] 231C32[111] 231C32[111] 231C31[111] 231S31[111] 231S32[111] 231S32[111] 231S31[111]

312С32[111] 312С31[111] 312С32[111] 312С31[111] 312S31[111] 312S32[111] 312S31[111] 312S32[111]

 

Точечные группы тетрагональной сингонии

Группы тетрагональной сингонии имеют только одну ось четвёртого порядка. Чтобы выделить эту ось необходимо добавить к инварианту группы О_h функцию, инвариантную относительно поворотов вокруг этой оси. Если эта ось z, то дополнительный инвариант может быть z² или любая чётная функция z.

1.11.1 Группа D4h(4/mmm) с инвариантом z2.

Этот инвариант из всех элементов группы О_h оставляет элементы с перестановками только осей x, y и отсутствуют перестановки с осью z.

 

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100] 123S42[100] 123S42[010] 123S42[001] 123 I

213S2[110] 213S2[110] 213S41[001] 213S43[001] 213C43[001] 213C41[001] 213C2[110] 213C2[110]

 

Группа D2d(42m).

Элементы симметрии этой группы можно получить если инвариант z² добавить к инварианту группы T_d.Это оставляет из всех элементов группы D_4h только элементы с чётным числом инверсий.

 

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100]

213S2[110] 213S2[110] 213S41[001] 213S43[001]

 

Группа D4(422).

В этой группе имеются только чистые повороты: элементы без перестановок с чётным числом инверсий и с одной перестановкой и нечётным числом инверсий.

 

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100]

213C43[001] 213C41[001] 213C2[110] 213C2[110]

 

Группа C4v (4mm).

Элементы симметрии этой группы получаются если ввести дополнительный инвариант z. Этот инвариант оставить ось z осью четвёртого порядка, но удалит элементы с инверсиями этой оси.

123 Е 123С42[001] 123S42[100] 123S42[010]

213S2[110] 213S2[110] 213C43[001] 213C41[001]

 

Группа C4h(4/m).

В качестве инварианта этой группы можно использовать функцию: xy³-x³y. Этот инвариант допускает перестановку осей x, y только вместе с инверсией одной из этих осей и инверсию двух осей без перестановки, а также инверсию оси z без перестановок её и комбинации этих операций. Из всех элементов группы О_h останутся элементы:

123 123 123

213 213 213 213

 

Симметрия этого инварианта такая же как и симметрия аксиального вектора или векторного произведения двух полярных векторов.

Группа симметрии S4 (4).

Эта группа получается если инвариант xy³-x³y добавить к инвариантам группы Т_d или к группе D_2d.

 

123 Е 123С42[001]

213S41[001] 213S43[001]

 

Группа симметрии C4 (4).

Эта группа получается если к группе чистых поворотов D₄ добавить инвариант z:

 

123 Е 123С42[001]

213C43[001] 213C41[001]

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: