Приведение тензора к диагональному виду

 

При измерении параметров тензора направления осей координат могут не совпадать с кристаллографическими направлениями, поэтому вид тензора не будет соответствовать диагональному виду. Всякий не диагональный тензор можно привести к диагональному виду, выбрав соответствующую систему координат. Эта система определяет главные направления тензора, а диагональные элементы – главные его значения.

Для нахождения главных значений тензора х необходимо решить уравнение:

,

где t_ij‒ матрица тензора. Из уравнения определяются три корня х₁, х₂, х₃ и они будут главными значениями или диагональными элементами приведённого тензора.

Направляющие косинусы главных направлений определяются формулами:

где A_1i(x₁)- алгебраическое дополнение 1-ой строки, i-столбца определителя матрицы тензора t_ij с подстановкой главного значения х₁.

 

Тензоры третьего ранга

Таблица коэффициентов пропорциональности между векторным полем V_i и тензором второго ранга T_jk определяет тензор третьего ранга t_ijk: V_i = t_ijk× T_jk. Он имеет 27 компонент. Структура этого тензора зависит от типа тензора второго ранга и может быть:

· (V³)- тензор общего типа,

· [V²]V- тензор на симметричном тензоре второго ранга,

· {V²}V- тензор на антисимметричном тензоре второго ранга,

· [V³], {V³}- -симметричный и антисимметричный тензор третьего ранга

Компоненты тензора делятся на несколько групп:

· с тремя одинаковыми индексами i=j=k,

· с двумя одинаковыми индексами i=j¹ k, i¹ j=k, i=k ¹ j,

· с тремя разными индексами i¹ j¹ k.

Таблица тензора нумеруется тремя индексами полярного вектора и девятью двойными индексами тензора второго ранга:

t111	t122	t133	t112	t121	t113	t131	t123	t132
t211	t222	t233	t212	t221	t213	t231	t223	t232
t311	t322	t333	t312	t321	t313	t331	t323	t332

 

Определение параметров тензора третьего ранга.

 

Для того, чтобы определить число параметров тензора необходимо построить представления тензоров третьего ранга для всех элементов симметрии точечной группы. Для этого надо использовать представления полярного, аксиального векторов и симметричного тензора второго ранга. Все необходимые данные есть в предыдущих главах. Здесь покажем пример применения этой схемы для группы октаэдра О.

Тип тензора	Представл.	123 Е	123 123 123	213, 213 132, 132 321, 321	213, 213 132, 132 321, 321	231, 231, 231, 231 312, 312, 312, 321	а
V	Г4		-1	-1
{V2}	Г5		-1		-1
[V2]							1
V{V2}				-1	-1		0
V [V2]			-2		-2		0

Тензор типа V{V²} и V[V²] содержат в себе тензоры {V³} и [V³], соответственно.

Из таблицы видно, что в этой группе симметрии свойства третьего порядка не наблюдается.

Пример 2. Тензор третьего ранга для группы C_3v.

Тип тензора	123 Е	213S2[110] 321 S2[101] 132 S2[011]	231C31[111] 312С32[111]	a
V
{V2}		-1
[V2]
V{V2}		-1
V [V2]

В группе отсутствуют инверсии поэтому все компоненты не равны нулю. Имеются все перестановки осей поэтому все компоненты с одинаковой структурой повторяющихся индексов равны: t₁₁₁= t₂₂₂= t₃₃₃=a, t₁₂₂= t₁₃₃= t₂₁₁= t₂₃₃= t₃₁₁= t₃₂₂=b, t₁₁₂= t₁₁₃= t₂₂₁= t₂₂₃= t₃₃₁= t₃₃₂=c, t₁₂₁= t₁₃₁= t₂₁₂= t₂₃₂= t₃₁₃= t₃₂₃=d, t₁₂₃= t₂₃₁= t₃₁₂=f.

Из-за симметрии тензора по двум последним индексам можно показать, что t₁₂₁= t₁₁₂=с=b.

Таблица тензора V [V²] будет:

a	b	b	c	d	c	d	f	f
t211	a	b	c	c	f	f	c	c
t311	b	a	f	f	c	c	c	c

 

Свойства, описываемые тензорами третьего ранга. Пъезоэлектрический эффект

 

Пъезоэлектрический эффект: E_i=t_ijks_jk, где E_i, s_jk – вектор напряжённости электрического поля и тензор механических напряжений. В этом эффекте за счёт механических напряжений в материале возникает электрическое поле. Тензор механических напряжений является симмметричным тензором [V²], однако в некоторых средах он может иметь антисимметричные составлдяющие {V²}, поэтому тензор пъезоэффекта имеет перестановочную симметрию типа V [V²] и V{V²}.

 

Нелинейная поляризация

 

Уравнение нелинейной поляризации следующее:

D_i=e_ijkE_jE_k,

где D_i, - вектор тока электрического смещения. e_ijk – тензор квадратичной нелинейной поляризации типа V[V²]. Нелинейная поляризация приводит к появлению в материале второй гармоники электрического поля и постоянного поля. Если E=E₀Cosj, то поляризация среды будет:

D=eE₀² Cos²j=eE₀²/2+e E₀²/2Cos2j.

Электроптический эффект

 

Уравнение электрооптического эффекта следующее:

 

n_ij=K_ijkE_k,

где n_ij – тензор коэффициентов преломления света. Под влиянием приложенного напряжения изменяется коэффициент преломления или угол преломления луча света. Это эффективный способ управления направлением луча света. Это тензор типа V[V²].

Магнитоэлектрический эффект

 

Уравнение магнитоэлектрического эффекта следующее:

H_ij=p_ijkE_k,

где H_ij - тензор напряжённости магнитного поля или аксиальный вектор. Здесь при приложении электрического поля в среде возникает магнитное поле. Это тензор типа V{V²}.

 

Тензоры четвёртого ранга

Тензоры 4-го ранга – таблица коэффициентов пропорциональности между вектором и тензором 3-его ранга, либо двумя тензорами 2-го ранга:

V_i=t_ijklT_jkl, T_ij= t_ijklT_kl.

Тензор характеризуется 81 компонентами, которые распределяются в таблице 9× 9 с нумерацией строк и столбцов по двойным индексам тензоров второго ранга.

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: