Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Приведение тензора к диагональному виду



 

При измерении параметров тензора направления осей координат могут не совпадать с кристаллографическими направлениями, поэтому вид тензора не будет соответствовать диагональному виду. Всякий не диагональный тензор можно привести к диагональному виду, выбрав соответствующую систему координат. Эта система определяет главные направления тензора, а диагональные элементы – главные его значения.

Для нахождения главных значений тензора х необходимо решить уравнение:

,

где tij‒ матрица тензора. Из уравнения определяются три корня х1, х2, х3 и они будут главными значениями или диагональными элементами приведённого тензора.

Направляющие косинусы главных направлений определяются формулами:

где A1i(x1)- алгебраическое дополнение 1-ой строки, i-столбца определителя матрицы тензора tij с подстановкой главного значения х1.

 

Тензоры третьего ранга

Таблица коэффициентов пропорциональности между векторным полем Vi и тензором второго ранга Tjk определяет тензор третьего ранга tijk: Vi = tijk× Tjk. Он имеет 27 компонент. Структура этого тензора зависит от типа тензора второго ранга и может быть:

· (V3)- тензор общего типа,

· [V2]V- тензор на симметричном тензоре второго ранга,

· {V2}V- тензор на антисимметричном тензоре второго ранга,

· [V3], {V3}- -симметричный и антисимметричный тензор третьего ранга

Компоненты тензора делятся на несколько групп:

· с тремя одинаковыми индексами i=j=k,

· с двумя одинаковыми индексами i=j¹ k, i¹ j=k, i=k ¹ j,

· с тремя разными индексами i¹ j¹ k.

Таблица тензора нумеруется тремя индексами полярного вектора и девятью двойными индексами тензора второго ранга:

t111 t122 t133 t112 t121 t113 t131 t123 t132
t211 t222 t233 t212 t221 t213 t231 t223 t232
t311 t322 t333 t312 t321 t313 t331 t323 t332

 

Определение параметров тензора третьего ранга.

 

Для того, чтобы определить число параметров тензора необходимо построить представления тензоров третьего ранга для всех элементов симметрии точечной группы. Для этого надо использовать представления полярного, аксиального векторов и симметричного тензора второго ранга. Все необходимые данные есть в предыдущих главах. Здесь покажем пример применения этой схемы для группы октаэдра О.

Тип тензора Представл. 123 Е 123 123 123 213, 213 132, 132 321, 321 213, 213 132, 132 321, 321 231, 231, 231, 231 312, 312, 312, 321 а
V Г4 -1 -1  
{V2} Г5 -1 -1  
[V2]   1
V{V2}   -1 -1 0
V [V2]   -2 -2 0

Тензор типа V{V2} и V[V2] содержат в себе тензоры {V3} и [V3], соответственно.

Из таблицы видно, что в этой группе симметрии свойства третьего порядка не наблюдается.

Пример 2. Тензор третьего ранга для группы C3v.

Тип тензора 123 Е 213S2[110] 321 S2[101] 132 S2[011] 231C31[111] 312С32[111] a
V
{V2} -1
[V2]
V{V2} -1
V [V2]

В группе отсутствуют инверсии поэтому все компоненты не равны нулю. Имеются все перестановки осей поэтому все компоненты с одинаковой структурой повторяющихся индексов равны: t111= t222= t333=a, t122= t133= t211= t233= t311= t322=b, t112= t113= t221= t223= t331= t332=c, t121= t131= t212= t232= t313= t323=d, t123= t231= t312=f.

Из-за симметрии тензора по двум последним индексам можно показать, что t121= t112=с=b.

Таблица тензора V [V2] будет:

a b b c d c d f f
t211 a b c c f f c c
t311 b a f f c c c c

 

Свойства, описываемые тензорами третьего ранга. Пъезоэлектрический эффект

 

Пъезоэлектрический эффект: Ei=tijksjk, где Ei, sjk – вектор напряжённости электрического поля и тензор механических напряжений. В этом эффекте за счёт механических напряжений в материале возникает электрическое поле. Тензор механических напряжений является симмметричным тензором [V2], однако в некоторых средах он может иметь антисимметричные составлдяющие {V2}, поэтому тензор пъезоэффекта имеет перестановочную симметрию типа V [V2] и V{V2}.

 

Нелинейная поляризация

 

Уравнение нелинейной поляризации следующее:

Di=eijkEjEk,

где Di, - вектор тока электрического смещения. eijk – тензор квадратичной нелинейной поляризации типа V[V2]. Нелинейная поляризация приводит к появлению в материале второй гармоники электрического поля и постоянного поля. Если E=E0Cosj, то поляризация среды будет:

D=eE02 Cos2j=eE02/2+e E02/2Cos2j.

Электроптический эффект

 

Уравнение электрооптического эффекта следующее:

 

nij=KijkEk,

где nij – тензор коэффициентов преломления света. Под влиянием приложенного напряжения изменяется коэффициент преломления или угол преломления луча света. Это эффективный способ управления направлением луча света. Это тензор типа V[V2].

Магнитоэлектрический эффект

 

Уравнение магнитоэлектрического эффекта следующее:

Hij=pijkEk,

где Hij - тензор напряжённости магнитного поля или аксиальный вектор. Здесь при приложении электрического поля в среде возникает магнитное поле. Это тензор типа V{V2}.

 

Тензоры четвёртого ранга

Тензоры 4-го ранга – таблица коэффициентов пропорциональности между вектором и тензором 3-его ранга, либо двумя тензорами 2-го ранга:

Vi=tijklTjkl, Tij= tijklTkl.

Тензор характеризуется 81 компонентами, которые распределяются в таблице 9× 9 с нумерацией строк и столбцов по двойным индексам тензоров второго ранга.

 


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 1954; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.026 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь