Матричное описание чистых вращений

Любой поворот системы координат можно представить как произведение трёх поворотов относительно трех осей: x, y, z. Если эти повороты осуществляются последовательно, то матрицы этих преобразований перемножаются в том же порядке.

Матрица любого поворота можно представить произведением трех матриц:

При перемножении матриц следует использовать правило умножения «строки на столбец».

Пример 1.Построить матрицу перехода к тригональной системе координат в кубе.

Этот переход может быть описан двумя поворотами:

1. Поворот относительно оси z на угол – 45^о с матрицей преобразования

При этом оси с направляющими косинусами [100], [010], [001] превращаются в оси с направляющими:

[2^-1/2, ‒ 2^-1/2, 0], [2^-1/2, ‒ 2^-1/2, 0], [001]. Поворот относительно этих осей на угол с сos=3^-½ , sin=- (2/3)^½ с матрицей:

 

2. Результирующий поворот как произведение этих матриц:

Таким образом, переход к тригональной системе координат определяется переходом от осей [100], [010], [001] к осям

[2^-1/2, -2^-1/2, 0], [6^-1/2, 6^-1/2, (2/3)^-1/2], [3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2].

Любое преобразование трёхмерного пространства, связанное с поворотами можно представить как поворот вокруг только одной оси на некоторый угол. Причем направляющие косинусы этой оси и угол поворота определяются через коэффициенты матрицы преобразования следующим образом:

( 1.18)

Пример 2. Определить тип поворота для матрицы

Решение. сosd=‒ 1, d= p, n=2. Это поворот вокруг оси второго порядка C_2z, совпадающего с осью z.

Пример 3.Определить тип поворота для матрицы

Решение. сosd=0, d= p/2, n=4, a₁=a₂= 0, a₃= 1.Это поворот вокруг оси четвёртого порядка C_4z, совпадающей с осью z.

Пример 4.Определить тип поворота для матрицы

Решение: сos d=0, d = p/2, n=4, a₁=a₂= 0, a₃= - 1. Это поворот на 90^о вокруг оси четвертого порядка, совпадающей с осью противоположной оси z, или поворот на угол –90^о(270^о) вокруг оси z.

Построение матриц поворотов

 

В некоторых случаях применение формулы ( 1.18) затруднительно. В этих случаях можно использовать следующие равенства:

a₁₁=сosd+(1– сosd)a₁² a₂₁=(1– сosd)a₂a₁– sinda₃

a₁₂=(1– сosd)a₁a₂+sinda₃ a₂₂=сosd+(1– сosd)a₂²

(1.19) a₁₃=(1– сosd)a₁a₃–sinda₂ a₂₃=(1– сosd)a₂a₃+sinda₁

a₃₁=(1- Cosd)a₃a₁+Sinda₂

a₃₂=(1- Cosd)a₃a₂-Sinda₁

a₃₃=Cosd+(1- Cosd)a₃²

 

Так для матрицы оси С₂

.

Равенства (1.19) дают уравнения:

a₁₁=cosd+(1– cosd)a₁²= –1

a₂₂=cosd+(1– cosd)a₂²= –1

a₃₃=cosd+(1– cosd)a₃²=1

При d=p получается a₃=±1, т.е. эта ось совпадает с осью z.

Другой поворот вокруг оси С₂ с матрицей

дает направляющие косинусы a₁=a₂=± , a₃= 0. Эта ось перпендикулярна оси z и проходит под углом 45^о к осям x, y.

С помощью (1.19) можно строить матрицу любой оси симметрии, если известны её направляющие косинусы.

Пример 5. Составить матрицу поворота вокруг оси С₆ с направляющими косинусами: .

Решение. По формуле (19) получаем матрицу поворота на 60^о вокруг оси С₆:

.

Чтобы получить матрицу несобственного поворота нужно получить матрицу чистого поворота и затем умножить все элементы матрицы на –1.

Пример 6. Построить матрицу зеркально-поворотного преобразования на 90^о вокруг оси z. Поворот на угол 90^о обозначается С₄¹. (Поворот С_n^k обозначает поворот на угол .)

Решение. Ориентация этой оси тогда матрица будет

.

Матрица для несобственного поворота S₄¹, будет

.

 

1.6 Матрицы обратных преобразований

В группе симметрии каждый элемент симметрии имеет свой обратный элемент так, что АА ^-1= 1, где под « 1 »подразумевается единичная матрица. Элемент обратный какому-либо повороту есть поворот в другую сторону на тот же угол. Поэтому в матрице обратного поворота необходимо в формулах (1.19) изменить знаки у синусов. Поскольку диагональные элементы матрицы поворота не содержат синусов, то диагональные элементы прямого и обратного поворотов равны.

Так, для диагональных матриц поворотов прямая и обратная матрицы одинаковы. Физически это означает, что применение этой операции симметрии дважды равносильно тождественному преобразованию. К таким элементам относятся три поворота на 180^о вокруг осей x, y, z: C_2x, C_2y, C_2z и три отражения в плоскостях, перпендикулярных этим осям: s_hx, s_hy, s_hz.

Задача. Построить матрицы этих шести элементов.

Пример 7. Построить матрицу поворота обратного С₃¹ с направляющими косинусами оси С₃: a₁= a₂ = a₃ =3^-1/2.

Решение. По формуле (1.19) вычисляем элементы матрицы прямого поворота на 120^о:

.

 

Для матрицы обратного поворота надо в формулах (1.20) изменить знаки у синусов, тогда получим для С₃^-1 = (С₃¹)^-1 матрицу:

.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: