Матрицы элементов симметрии в повернутой системе координат

Для того, чтобы получить матрицу элемента симметрии в системе координат, повернутой матрицей А относительно исходной с, нужно рассчитать следующие выражение:

(1.20) С_n¢ =A × C_n × A^-1.

Пример 8. Система координат поворачивается на какой-то угол относительно оси z, построить матрицу элемента С_n¢:

 

a11c2+a22s2+(a12+a21)sc	a12c2– a21s2– (a11–a22)sc	a13c+a23s
a21c2– a12s2– (a11–a22)sc	a11s2+a22c2– (a12+a21)sc	– a13s+a23c
a31c+a32s	a32c– a31s	a33

 

Решение. Если взять след этой матрицы как сумму диагональных элементов, то получим, что след матрицы не изменился при повороте системы координат и равен а₁₁+а₂₂+а₃₃ . Другими словами, можно сказать, что след матрицы инвариантен относительно преобразований системы координат.

Если в качестве элемента А взять какой-либо элемент из группы симметрии, то все элементы (1.20) образуют один класс. Поскольку для всех этих элементов сумма диагональных элементов одинакова, то из (1.18) следует, что для всех этих элементов угол поворота одинаков.

 

Группа симметрии куба

Для того чтобы определить группу симметрии куба, необходимо найти инвариант этой группы. В качестве инварианта группы куба О_h можно взять функцию:

(1.21) I(O_h)=x⁴ + y⁴+ z⁴.

Куб характеризует восемь вершин с максимальным удалением от центра и шесть граней с минимальными расстояниями между центрами грани и куба. Инвариант (1.21) имеет максимальные значения в восьми направлениях [±1, ±1, ±1] и минимальные значения в шести [±1, 0, 0], [0, ±1, 0], [0, 0, ±1] направлениях. Очертания этой функции в сферических координатах напоминает куб с шестью гранями и восемью вершинами.

Теперь необходимо определить все элементы симметрии этого инварианта, т.е. преобразования системы координат, которые оставляют форму (1.21) без изменения.

Посмотрим какие повороты вокруг оси z допускает данный инвариант. Для этого в форму (1.21) подставим координаты из матрицы поворота вокруг оси z:

(cx+sy)⁴+(– sx+cy)⁴+z⁴=x⁴+y⁴+z^4.

Из этого равенства следует, что c⁴+s⁴=1, или j=kp/2.

Получается, что ось z является осью четвертого порядка с элементами симметрии: C_4z^k (k=1, 2, 3, 4).Такой же результат мы получим при поворотах вокруг осей x, y: C_4x^k, C_4y^k.

Повороты вокруг осей третьего порядка характеризуются матрицами со следом равным нулю. Это выполняется для матриц с нулевыми диагональными элементами, например при перестановках осей координат. Видно, что любые перестановки осей, так же как и инверсии этих осей не меняют инвариант (1.21). В результате получается 48 элементов симметрии этого инварианта:

(1.22)

 

Поскольку матрицы (1. 22) характеризуются перестановками единицы в строках и столбцах, то можно обозначать эти матрицы символами перестановок трёх элементов в виде трех цифр 1, 2, 3. На первом месте стоит номер столбца первой строки, где находится единица, на втором – номер столбца второй строки, на третьем – номер столбца третьей строки. Отрицательный знак обозначается подчеркиванием снизу. Например, для элемента 312 матрица будет записана как

.

Тогда все элементы симметрии можно представить как элементы группы перестановки Р₃ и инверсий. Так элементы симметрии группы куба (1.22 ) можно представить в виде Табл. 1‑ 1.

Табл. 1‑ 1. Элементы симметрии группы куба О_h в представлении перестановок и инверсий

 

123 123 123 123 123 123 123

213 213 213 213 213 213 213

321 321 321 321 321 321 321

132 132 132 132 132 132 132

231 231 231 231 231 231 231

312 312 312 312 312 312 312

 

В представлении перестановок необходимо определить правила определения основных элементов матрицы представления.

1.Определитель матрицы равен –1, если имеется один цикл перестановок и четное число инверсий осей координат или два цикла перестановок и нечетное число инверсий. В остальных случаях определитель равен 1. Например, 213 имеет определитель –1, так как содержит один цикл перестановок и две инверсии. Аналогично 312 имеет два цикла перестановок и три инверсии.

2. След матрицы c равен числу цифр оставшихся на своем месте с учётом знака инверсии. Так, 123 и 123 имеют след c= 3 и – 3, 213 и 213 имеют след c= –1 и 1, а 312 имеет след c= 0, так как ни одна из цифр не осталась на месте.

3. Недиагональные элементы соответствуют переставленным индексам и равны ±1 в зависимости от подчеркиваний. Так в элементе 213 цифра 2 стоит на первом месте и соответствует элементу а₁₂, который равен -1, цифра 1 – на втором месте и соответствует элементу а₂₁, который равен 1.

4. При умножении элемента на элемент инверсии подчеркнутые и не подчеркнутые элементы становятся не подчеркнутыми и подчеркнутыми, соответственно.

Определим элементы симметрии первой строки табл.1.

Угол поворота и направление оси находим по формуле (1.18):

Для осей второго порядка имеется неопределенность при определения их направлений. В этом случае следует использовать систему уравнений (1.19).

1. Первый элемент 123 представляет чистый поворот (без перестановок и инверсий), след матрицы 3 и угол поворота 0 или 360^о. Это тождественное преобразование.

2. Элемент 123 чистый поворот с определителем 1(нет перестановок и две инверсии) со следом c= -1-1+1=-1. Это поворот на 180^о вокруг оси z или C_4z². Другие элементы аналогичного типа являются поворотами вокруг осей x, y: 123= C_4x²; 123= C_4y².

 

3. Оставшиеся элементы в первом столбце это несобственные вращения: 123= S_4x², 123= S_4y², 123= S_4z²; 123=I.

 

Во втором столбце чистые повороты – это элементы с одной или тремя инверсиями.

1.Элемент 213 имеет след -1 и это поворот на 180^о вокруг оси второго порядка. Ориентация этой оси находится из системы уравнений (20) для а₁₂, а₂₁, а₃₃:

-1+2a₁²=0, -1+2a₂²=0, -1+2a₃²=-1, откуда a₁=a₂=1/Ö 2, a₃=0. Эта ось имеет направление [110] или 213=С_2[110]. Аналогично имеем для элемента 213=С_2[110].

2.Для элемента 213 след равен 1 и это поворот на ±90^о вокруг оси четвёртого порядка с направлением по оси z: 213= С_4[001] и для 213= С₄¹_[001]º С₄³_[001].

3.Остальные 4 элемента - это несобственные вращения, которые соответствуют уже разобранными чистым вращениям: 213=

S_2[110], 213= S_2[110], 213= S₄¹_[001]º S₄³_[001], 213= S_4[001].

Третий столбец представляет элементы такой же природы как и второй столбец, только относительно координатной оси y и плоскости xz: 321=С₄¹_[010], 321= С₄³_[010], 321= С_2[101], 321= С_2[101]. Для несобственных вращений: 321=S₄¹_[010], 321 = S₄³_[010], 321 = S_2[101], 321 = S_2[101].

Четвёртый столбец – такие же преобразования относительно оси x: 132=C_2[011], 132= C_2[011], 132= C₄¹_[100], 132= C₄³_[100], 132=S_2[011], 132= S_2[011], 132 = S₄¹_[100], 132 = S₄³_[100].

Два оставшихся столбца соответствуют элементами поворотов на ±120^о вокруг осей С₃.

Элемент 231 с элементами матрицы а₁₂=1, а₂₃=1, а₃₁=1 и по формулам (19) получаем: a₁=a₂=a₃=1/Ö 3 и 231=С₃¹_[111]. Перестановка 312 имеет элементы матрицы а₃₁= а₁₂= а₂₃=1, из (19) имеем: a₁=a₂=a₃=-1/Ö 3 и 312= С₃¹_[111]º С₃²_[111].

Аналогично получаются параметры остальных элементов симметрии: 231= С₃¹_[111], 231= С₃¹_[111], 231= С₃¹_[111], 312= С₃¹_[111], 312= С₃¹_[111], 312= С₃¹_[111].

 

Если за положительные направления осей С₃ взять те оси, для которых имеется положительные направления с осью z, то можно записать: 231= С₃¹_[111]º С₃²_[111], 312= С₃¹_[111], 231= С₃¹_[111]º С₃²_[111], 312= С₃¹_[111], 312= С₃¹_{[111] ]}º С₃²_[111], 231= С₃¹_[111].

Остальные 8 элементов будут несобственными или зеркально- поворотными преобразованиями:

231= S₃¹_[111] , 312= S₃²_[111], 231= S₃¹_[111], 312= S₃²_[111], 312= S₃¹_[111], 231= S₃²_[111], 312= S₃¹_[111], 231= S₃²_[111].

Группа куба содержит 24 чистых вращения с поворотанми на углы 90, 180, 270 градусов вокруг трёх осей четвёртого порядка, проходящих через середины граней куба, повороты на 120, 240 градусов вокруг 4-х осей третьего порядка, проходящих через противоположные вершины куба и повороты на 180 градусов вокруг шести осей второго порядка, проходящих через середины рёбер куба. Все элементы симметрии куба в представлении перестановок и геометрическом представлении сведены в Табл. 1‑ 2.

Табл. 1‑ 2. Элементы симметрии группы куба О_h`(m3m)

 

123 Е 123С42[001] 123С42[010] 123С42[100] 123S42[100] 123S42[010] 123S42[001] 123 I

213S2[110] 213S2[110] 213S41[001] 213S43[001] 213C43[001] 213C41[001] 213C2[110] 213C2[110]

321 S2[101] 321S43[010] 321 S2[101] 321S41[010] 321C41[010] 321 C2[101] 321C43[010] 321 C2[101]

132 S2[011] 132S41[100] 132S43[100] 132 S2[011] 132 C2[011] 132C43[100] 132C41[100] 132 C2[011]

231C31[111] 231C32[111] 231C32[111] 231C31[111] 231S31[111] 231S32[111] 231S32[111] 231S31[111]

312С32[111] 312С31[111] 312С32[111] 312С31[111] 312S31[111] 312S32[111] 312S31[111] 312S32[111]

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: