СЛОЖЕНИЕ ОДИНАКОВЫХ СЛАГАЕМЫХ НАЗЫВАЮТ УМНОЖЕНИЕМ.

Оно лежит в основе составления первого столбика на умножение.

Рассмотрим на таблице умножения числа " 2". (стр. 36)

 

nn 2

nn 2 + 2 = 4

nn 2 + 2 + 2 = 6

nn 2 + 2 + 2 + 2 = 8

nn 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Выполняя эту работу, учащиеся убеждаются в том, что каждый следующий результат увеличивается на два, это поможет в нахождении следующих результатов: 2 i 5 = 10

2 i 6 =  10 + 2 = 12 Þ 2 i6 = 12

2 i 7 =  12 + 2 = 14 Þ 2 i7 = 14

 

Учащиеся знакомятся с названием компонентов и результатов действия. (стр. 35)

СОМНОЖИТЕЛИ (мы их перемножаем).

1 множитель 2 множитель

8 i 4 = 32

произведение (математическое выражение) произведение

(значение математического выражения)

В основе составления второго случая умножения лежит знание о связи между компанентами и результатом действия умножения (нахождения неизвестного множителя)(стр.38), переместительном законе умножения, которое сформулировано в правиле:

 

ОТ ПЕРЕСТАНОВКИ МНОЖИТЕЛЕЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ.

 

2 i 2 = 4

2 i 3 = 6 3 i 2 = 6

2 i 4 = 8 4 i 2 = 8

2 i 5 = 10 5 i 2 = 10

2 i 6 = 12 6 i 2 = 12

2 i 7 = 14 7 i 2 = 14

2 i 8 = 16 8 i 2 = 16

2 i 9 = 18 9 i 2 = 18

Перез рассмотрением решения примеров на деление необходимо познакомить учащихся с самим действием делением (см. первую группу простых задач), а затем со связями между компонентами и результатом действия умножения (т.е. нахождение неизвестного множителя) (стр. 48)

6 i 3 = 18

1 множитель 2 множитель произведение

Составьте два примера на деление, используя эти числа.

 

18: 3 = 6

произведение 2 множитель 1 множитель

Чем являлось число 18, 3, 6 в первом примере?

18: 6 = 3

произведение 2 множитель 1 множитель

Обобщая случаи нахождения 1 и 2 множителей, выводим правило:

 

ЕСЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ РАЗДЕЛИТЬ НА ОДИН ИЗ МНОЖИТЕЛЕЙ, ТО ПОЛУЧИМ ДРУГОЙ МНОЖИТЕЛЬ.

 

Оно и поможет нам составить 2 примера на деление (стр. 51, № 235)

 

2 i 2 = 4 4: 2 = 2

2 i 3 = 6 6: 2 = 3 6: 3 = 2

2 i 4 = 8 8: 2 = 4 8: 4 = 2

2 i 5 = 10 10: 2 = 5 10: 5 = 2

2 i 6 = 12 12: 2 = 6 12: 6 = 2

2 i 7 = 14 14: 2 = 7 14: 7 = 2

2 i 8 = 16 16: 2 = 8 16: 8 = 2

2 i 9 = 18 18: 2 = 9 18: 9 = 2

 

Аналогичная работа и при составлении всех других таблиц: стр. 74 – на 3, стр. 82 – на 4, стр. 88 – на 5, стр. 95 – на 6, стр. 100 – на 7, стр. 104 – на 8, стр. 107 – на 9, стр. 110 – обобщение всех таблиц.

 

 

При умножении нуля на любое число получается нуль.

 

ЗАПОМНИ: ПРИ УМНОЖЕНИИ ЛЮБОГО ЧИСЛА НА НУЛЬ, ПОЛУЧАЕТСЯ НУЛЬ.

 

2 i 0 = 0 9 i 0 = 0

 

 

Доказательство:

Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0 i 2). Результат учащиеся находят сложением (0 i 2 = 0 + 0 = 0).

I: Если второй множитель равен 0, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, т.к. это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому получаем второе правило.

II: ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛЮБОГО ЧИСЛА НА НУЛЬ СЧИТАЮТ РАВНЫМ НУЛЮ.

146 i 0 = 0

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА.

1. Решить с объяснением, указать, какие знания необходимы учащимся при решении примера:

(54 + 36): 3 = 30

 

ЗНАНИЯ: порядок выполнения действий, свойства деления суммы на число, прием – замена числа суммой разрядных слагаемых (5 дес. 4 ед., 3 дес. 6 ед. или 54 = 50 + 4), поразрядное сложение(5 дес. + 3 дес.), таблица – случаи сложения в пределах 10 (4 ед. + 6 ед.), табличный случай деления, разрядный состав числа (3 дес. = 30 ед.).

 

2. 81 – 8 i 3: 4 = 75

ЗНАНИЯ: дополнение – замена числа суммой удобных слагаемых (1 + 5), прием – округления (81 – 1), замена числа суммой удобных слагаемых (7 дес. + 1 дес.), табличный случай вычитания (1 дес. – 5 ед.).

 

3. 60 – 7 i 7 + 39 = 50

ЗНАНИЯ: Прием округления (49 дополню до 50) Þ 60 – 50 + 1

 

ВНЕТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 100.

 

Программные задачи:

1. Познакомить учащихся с частными случаями, и дать правило этих случаев (а i 1 = а).

2. Знакомство с делением с остатком.

3. Раскрыть свойства вычисления:

а) умножение суммы на число (а + в) * с

б) деление суммы на число (а + в): с

4. Научить учащихся правильно рассуждать при решении примеров вида:

а) умножение двузначного числа на однозначные (23 * 4)

б) умножение однозначного числа на двузначное (4 *23)

в) деление двузначного числа на однозначное (46: 2, 48: 3, 70: 2)

 

Частные случаи умножения и деления.

 

I: Умножение единицы на число. М – II (стр. 61)

1 * а = а

1 * 2 = 1 + 1 = 2

1 * 2 = 2

 

Правило: при умножении единицы на число получается то число, на которое умножаем.

Доказали, опираясь на " умножение – сумма одинаковых слагаемых".

 

II: Умножение числа на единицу. М – II (стр. 62)

а * 1 = а

3 * 1 = 3 45 * 1 = 45

а) 45 * 1 – это значит, что число 45 взять 1 раз, получим 45.

 

1 * 3 = 3

3 * 1 = 3

б) применяем переместительный закон умножения 1 * 3 и получаем ранее рассмотренный случай, 1 * а = а, поэтому и а * 1 = а Þ 3 * 1 = 3.

 

Правило: при умножении любого числа на единицу, получаем то число, которое умножаем.

Обобщаем 2 рассмотренных случая и выводим общее правило:

Если один из сомножителей равен 1, то произведение равно другому сомножителю.

III: Деление числа на единицу.

а: 1 = а

5: 1 = Ÿ Þ Ÿ * 1 = 5 Þ 5 Þ 5: 1 = 5

Подберу такое число, которое при умножении на единицу дает число 5.

Мы знаем случай а * 1 = а Þ если один из множителей единица, то произведение равно другому множителю. Значит 1-ый множитель = 5, отсюда 5: 1 = 5.

Это доказательство дали, опираясь на связь между компонентами и результатом действия деления (нахождение неизвестного делимого).

 

Правило: При делении любого числа на единицу в частном получается то число, которое делим.

 

Значение 3-х рассмотренных случаев (1 * а = а, а * 1 = а) необходимо учащимся при решении примеров вида: 10 * 4, 4 * 10, 40: 4, 40: 10.

 

10 * 4 = Ÿ

1 дес. * 4 = 4 дес. = 40 ед. Þ 10 * 4 = 40

 

1 * а

 

4 * 10 = Ÿ

4 * 1 дес = 4 дес. = 40 ед.

 

а * 1

4 * 10 = 40

 

40: 4 = Ÿ

4 дес.: 4 = 1 дес. = 10 ед.

 

а: а = 1

40: 4 = 10

 

Правило: При делении чисел на само это число, частное равно 1.

 

40: 10 = Ÿ

4 дес.: 1 дес. = 4 Þ 40: 10 = 4

 

а: 1 = а

Узнаем сколько раз по одному десятку содержится в четырех десятках – 4 раза.

 

В дальнейшем учащиеся знакомятся с правилами:

Чтобы число умножить на 10 или 10 умножить на число, достаточно к числу справа приписать 0.

5 * 10 = 50, 10 * 18 = 180 (аналогично на 100 – 2 нуля, на 1000 – 3 нуля)

150 * 100 = 15 000 375 * 1 000 = 375 000

Чтобы разделить число на 10, 100, 1000 достаточно в делимом справа закрыть столько цифр, сколько 0 в делителе.

450: 10 = 45

457: 10 = 45 ( ост. 7)

486: 100 = 4 ( 86)

97 000: 1000 = 97

 

IV: Умножение нуля на число.

0 * а = 0

0 * 2 = 0 0 * 12 = 0

0 + 0 = 0 0 + 0 + 0 +…+ 0 (12 раз) = 0

Умножение – сумма одинаковых слагаемых.

 

Правило: При умножении нуля на любое число получается нуль.

 

V: Умножение числа на нуль.

а * 0 = 0

3 * 0 = Ÿ

Используя переместительный закон умножения, получаем рассмотренный ранее случай.

0 * 3 = 0 Þ 3 * 0 = 0

 

Правило: При умножении любого числа на нуль получается нуль.

VI: Деление нуля на число.

0: а = 0

Рассматривается на основе связи между компонентами и результатом действия деления.

0: 6 = Ÿ Þ Ÿ * 6 = 0 Þ 0 Þ 0: 6 = 0

0: 6 = Ÿ - подберу такое число (частное), которое при умножении на делитель 6 дало бы делимое, равное 0.

Мы знаем, произведение равно 0, когда один из множителей равен нулю, значит неизвестное число равно 0, поэтому 0: 6 = 0.

 

Правило: При делении нуля на любое другое число получается нуль.

ДЕЛИТЬ НА 0 НЕЛЬЗЯ!!!

А: 0

6: 0 = Ÿ Þ Ÿ * 0 = 6 Þ 6: 0

Найду такое число, котрое при умножении на нуль дало бы 6. Такого числа нет Þ делить на нуль нельзя.

0 * 6: 2 = 0

0: 8 * 4 = 0

1 * 4 < 1 + 4

25 * 0 = 0

13 * 1 = 13

0: 7 < 0 + 7

 

 

VII: Деление с остатком.

mm x mm x mm x mm x mm xm

Сколько раз по 2 кружка получили? (пять раз)

Сколько осталось кружков без пары? (один)

11: 2 = 5 (ост. 1)

10: 2 = 5

11: 2 = 5 (ост. 1)

 

Правило: При делении остаток всегда должен быть меньше делителя.

23: 4 = (20 + 3): 4 = (20: 4) + 3(ост.) = 5 (ост. 3)

В дальнейшем решаем примеры без наглядности, используя рассуждения.

Самое большое число до 23, которое делится на 4 без остатка – это 20. 20: 4 = 5. Надо разделить 23, а разделили 20. Узнаем, сколько осталось разделить 23 – 20 = 3. Сравню оставшееся число с делителем. Значит 3 меньше 4 Þ 3 – остаток.

23: 4 = 5 (ост. 3)

 

Решение примеров, основанных на приемах и свойствах арифметических действий.

 

ПРИЁМЫ:

 

1. замена числа суммой разрядных слагаемых.

23 * 4 = 92 46: 2 = 23

/ \ / \

20 3 40 6

2. замена числа суммой удобных слагаемых.

48: 3 = 16 70: 2 = 35

/ \ / \

30 18 60 10

СВОЙСТВА:

 

1. умножение суммы на число (стр. 121)

(а + в) * с

1) решение разными способами

(6 + 4) * 3 = 6 * 3 + 4 * 3 = 18 + 12 = 30

(6 + 4) * 3 = 10 * 3 = 30

 

2) решение удобными способами

(10 + 2) * 8 = 10 * 8 + 2 * 8 = 80 + 16 = 96

(9 + 1) * 7 = 10 * 7 = 70

 

3) решение примеров вида

23 *4 – умножение двузначного числа на однозначное

23 * 4 = (20 + 3) * = 20 * 4 + 3 * 4 + 80 + 12 = 92

23 * 4 = 92

 

Десятки умножим на число, единицы умножим на число, и получение результаты сложим, т.е. выполним поразрядное умножение.

Эти же знания используем и при решении примера вида 4 * 23, предварительно используя переместительный закон умножения.

4 * 23 = 23 * 4 = 92

4 * 23 + 92

ВЫВОД: при решении примеров вида умножение двужначного числа на однозначное, умножение однозначного на двузначное используем поразрядное умножение.

 

 

2. Деление суммы на число

(а + в): с

1) решение разными способами.

(6 + 9): 3 = 6: 3 + 9: 3 = 2 + 3 = 5

(6 + 9): 3 = 15: 3 = 5

 

2) решение удобным способом

(8 + 12): 4 = 20: 4 = 5

(70 + 14): 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

 

3) решение примеров вида

46: 2

48: 3 деление двузначного числа на однозначное

70: 2

 

46: 2 = (40 + 6): 2 = 40: 2 + 6: 2 = 20 + 3 = 23

46: 2 = 23

/ \

40 6

46: 2 = 23 поразрядное деление

 

48: 3 = (30 + 18): 3 = 30: 3 + 18: 3 = 10 + 6 = 16

48: 3 = 16

/ \

30 18

Заменю число 48 суммой удобных слагаемых, одно из которых – наиболее крупное число, делящееся на 3. Это 30.

 

70: 2 = (60 + 10): 2 = 60: 2 + 10: 2 = 30 + 5 = 35

70: 2 = 35

/ \

60 10

ß

наиболее круглое число к 70.

27 * 3 = 81

84: 3 = 28

62: 2 = 31

90: 5 = 18

6 * 14 = 84

60: 5 = 12

 

При решении примеров вида 68: 17 – деление двузначного числа на двузначное используем прием подбора.

68: 17 = Þ * 17 = 68

2 * 17 = 34 Þ 2 – не подходит

3 * 17 = 51 Þ 3 – не подходит

4 * 17 = 68 Þ 4 – подходит

68 * 17 = 4

Обобщим виды примеров, при решении которых используем приемы, свойства и законы арифмерических действий.

К ним относятся:

- умножение двузначного числа на однозначное (23 * 4)

- умножение однозначного числа на двузначное (4 * 23)

- деление двузначного числа на однозначное

- деление двузначного числа на однозначное

 

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В РАЗДЕЛЕ " ТЫСЯЧА".

 

Программные задачи:

1. Закрепить теоретические знания, приобретенные учащимися при работе в разделе " СОТНЯ" с целью использования их на области трехзначных чисел (знание законов, свойств, приемов)

2. Сформировать практические умения и навыки при работе с трехзначными числами.

 

Все полученные знания, умения и навыки при работе с двухзначными числами переносим на трехзначные числа, т.е. зная законы, свойства и приемы, оба изученные в разделе 2СОТНЯ" учим детей применять при решении конкретных примеров с трехзначными числами.

 

1. Сложение круглых чисел.

600 + 300 =

6 с. + 3 с. = 9 с.

9 с. = 900 ед.

600 + 300 = 900

Знания: состав числа, сложение в пределах 10 (аналогично и на вычитание)

 

2. Сложение и вычитание.

986 + 1 = назову последующее число числу 986. Это 987.

986 + 1 = 987

560 – 1 = назову предыдущее число числа 560. Это 559.

560 – 1 = 559

 

3. Поместное значение цифры.

400 + 60 = 460

460 + 8 = 468

400 + 68 = 468

468 – 460 = 8

468 – 68 = 400

468 – 400 = 68

 

I. Решение этих примеров (1, 2, 3) основано на знании нумерации:

1. знание разрядного состава числа (1 – 3)

2. сложение и вычитание в пределах 10 (1, 2)

3. расположение чисел в натуральном ряду (2)

4. поместное значение цифры (3)

II. Решение примеров, основанные на знании законов, приемов, свойств арифметических действий:

450 + 300 = (400 + 50) + 300 = (400 + 300) + 50 = 700 + 50 = 750

Прием: замена числа суммой разрядных слагаемых.

450 = 400 + 50

Свойство: прибавление числа к сумме

(400 + 50) + 300 = (400 + 300) + 50

Законы: 1) переместительный (400 + 50) + 300 = 400 + 300 + 50

2) сочетательный 400 + 300 + 50 = (400 + 300) + 50

 

890 – 30 = (800 + 90) – 30 = 800 + (90 – 30) = 800 + 60 = 860

Прием: замена числа суммой разрядных слагаемых

890 = 800 + 90

Свойство: вычитание числа из суммы

(800 + 90) – 30 = 800 + (90 – 30)

Закон: нет (т.к. вычитание)

Эти примеры на сложение и вычитание круглых чисел можно решить другим способом.

 

Разрядный состав числа.

 

450 + 300 =

45 дес + 30 дес = 75 дес

75 дес = 750 ед

450 + 300 = 750

 

Выделяя общее число сотен или десятков позволяет нам свести эти примеры к сложению и вычитанию в пределах 100

 

324 + 53 = (300 + 20 + 4) + (50 + 3) = 300 + (20 + 50) + (4 + 3) = 300 + 70 + 7 = 377

Прием: замена чисел суммой разрядных слагаемых

324 = 300 + 20 + 4

53 = 50 + 3

Свойство: прибавление суммы к сумме

(300 + 20 + 4) + (50 + 3) = 300 + (20 + 50) + (4 + 3)

Законы:

1) переместительный

(300 + 20 + 4) + (50 + 3) = 300 + 20 + 50 + 4 + 3

2) сочетательный

300 + 20 + 50 + 4 + 3 = 300 + ( 20 + 50) + (4 + 3)

 

 

732 – 98 = (632 + 100) – 98 = 632 + (100 – 98) = 632 + 2 = 694

Прием: замена числа суммой удобных слагаемых

732 = 632 + 100

Свойство: вычитание числа из суммы

(632 + 100) – 98 = 632 + (100 – 98)

Закон: нет

732 – 98 = (632 + 100) – (90 + 8) – не удобно

732 – 98 = 732 – (98 +2) = 632

632 + 2 = 634

732 – 98 = 634

Прием: округления 98 + 2 = 100

 

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В ПРЕДЕЛАХ " ТЫСЯЧИ"

 

Программные задачи:

1. Познакомить учащихся с решением примеров вида 80 * 4; 420: 6, научить рассуждать

2. Формировать умение учащихся табличных случаях умножения и деления.

80 * 4 =

8 дес * 4 = 32 дес

32 дес. = 320 ед.

80 * 4 = 320

ВЫВОД: выделение общего числа десятков, позволяет свести вычисление к знанию табличных случаев умножения и деления.

 

70 * 6 – 20 = 400

1) 70 * 6 = 7 дес. * 6 = 42 дес. = 420 ед.

2) 420 – 20 = 400

 

АЛГОРИТМ ПИСЬМЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

 

Алгоритм – это точное предписание, правило о выполнении в определенном порядке действия сложения.

 

1. АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ – это правило о выполнении в определенном порядке действия сложения.

 

Выполняется поразрядно, начиная с низшего разряда.

Знакомство с письменными приемами сложения происходит в разделе " СОТНЯ" и полученные знания используются в следующих разделах: " ТЫСЯЧА" и " МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА".

Рассуждение идет по памятке.

ПАМЯТКА.

1. Пишу (единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.)

2. Складываю единицы

3. складываю десятки (аналогично с другими разрядными единицами)

4. Читаю ответ

Сумма равно пятидесяти семи (числительные склоняются)

 

Работая в каждом разряде и знакомя учащихся с решением примеров, располагаем их по степени сложности:

1. без перехода через разрядную единицу

 

34 – 1 слагаемое

23 – 2 слагаемое

57 – сумма

 

33

432

324

65242

 

 

 

2. с переходом через разрядную единицу

a) 46 складываем единицы

34 6 да 4 – 10 ед. Это 1 дес. и 0 ед.

80 0 пишу под ед., а 1 дес. прибавляю к десяткам.

 

463 складываю десятки

344 6 да 4 – 10 дес. Это 1 сот. и 0 дес. 0 ед.

807 0 пишу под дес., а 1 сот. прибавляю к сотням.

 

4655 складываю сотни

433 6 да 4 – 10 сот. Это 1 тыс. и 0 сот.

5089 0 пишу под сот., а 1 тыс. прибавляю к тыс.

 

b) 48 8 да 5 – 13 ед. – это 1 дес. и 3 ед.

35 3 пишу под ед., а 1 дес. прибавляю к десяткам.

 

453 13 дес. – это 1 сот. и 3 дес.

586 1 пишу на месте ед. тысяч.

 

49604 18 ед тыс. – это 8 ед. тыс т 1 дес. тыс.

8492

 

ВЫВОД: При сложении используем свойства прибавления суммы к сумме, т. к. выполняем поразрядное сложение, мысленно заменив каждое слагаемое суммой.

 

2. АЛГОРИТМ ВЫЧИТАНИЯ – это правило о выполнении в определенном порядке действия вычитания.

 

Выполняется поразрядно, начиная с низшего разряда.

Вычитание производится во всех разделах, начиная с раздела " СОТНЯ".

Рассуждение идет по той же памятке, что и при сложении, но производя вычитание.

Примеры решаем по степени сложности:

 

1) без перехода через разрядную единицу

_97 уменьшаемое

35 вычитаемое

62 разность равна шестидесяти двум

_975

523

 

2) с переходом через разрядную единицу

.

a) _90 Из нуля вычесть 6 ед. нельзя, поэтому из 9 дес. беру 1 десяток для вычитания

26 ед. Чтобы не забыть об этом, надо дес. ставлю точку. Вычитаю ед. 10 – 6 = 4.

64 Пишу под ед. Вычитаю десятки. Точка над ними говорит о том, что их

осталось 8. 8 – 2 = 6. Пишу под дес. Разность равна 64.

..

_ 800 Из 8 сот. беру 1 сот. 1 сот. – это 10 дес. Из 10 дес. я возьму 1 десяток для

357 вычитания ед. 1 дес.- это 10 ед.

.

b) _ 92

8

Свойство: вычитание суммы из суммы.

 

Обращаем внимание детей на связь между сложением и вычитанием, используя проверку выполненного решения.

 

3. АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ – это правило о выполнении действия умножения.

 

Умножение на однозначное число.

В подготовительную работу включить повторение свойства умножения суммы на число, которое лежит в основе алгоритма умножения на однозначное число.

 

5432 * 3 = (5000 + 400 + 30 + 2) * 3 =5000 * 3 + 400 * 3 + 30 * 3 + 2 * 3 = 15000 + 1200 + 90 + 6 =

= 16296

 

Это поразрядное умножение лежит в основе письменного умножения.

 

5432 1 слагаемое

3 2 слагаемое

16296 произведение

 

380 Т.к. 0 – не значимая цифра, то 2 множитель (9) подписываем под первой значимой

9 цифрой первого множителя, считая справа.

Сначала перемножу значимые цифры (38 * 9), а затем в полученное произведение снесу столько 0, сколько их в конце множителя.

 

Если в середине 1 множителя есть нули, то само умножение 0 *а можно не производить (не называть), т. к. произведение все равно будет равно нулю, а продолжить вычисление.

 

ПАМЯТКА.

1. Пишу

2. Умножаю единицы

3. Умножаю десятки

4. Умножаю сотни

5. Умножаю ед. тысяч

6. Умножаю дес. тысяч

7. Умножаю сот. тысяч

8. Читаю ответ: произведение равно (числительное склоняется)

 

 

 

 

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: