Моделирование теплового распределенного объекта управления

Цель работы: рассчитать и построить переходные процессы для теплового распределенного объекта управления, используя метод разделения переменных и спектральный метод; исследовать и дать сравнительную оценку точности и сходимости решения на основе указанных методов.

1. Постановка задачи и краткие теоретические сведения

Построить переходной процесс для распределенного объекта управления, описываемого дифференциальным уравнением в частных производных вида:

	(1)

где – выходная переменная, – управляющее воздействие.

Граничные условия

(2)

Начальные условия:

.

(3)

Решение данной задачи методом разделения переменных известно [1] и может быть записано в виде суммы двух решений: решения однородной краевой задачи при ненулевых начальных условиях и решения неоднородной краевой задачи при нулевых начальных и граничных условиях :

	(4)
где ;	(5)
.	(6)

2. Порядок выполнения работы

1. Записать решение задачи методом разделения переменных для исходных данных в соответствии с вариантом задания.

2. Провести расчет пространственного распределения температуры для и десяти моментов времени.

3. Записать программу вычисления указанных распределений температуры. Рассчитать и построить графики.

4. Используя пакет прикладных программ «SPEKTR», провести расчет и построить графики переходного процесса.

5.

3. Назначение пакета «SPEKTR»

Пакет прикладных программ «SPEKTR» предназначен для анализа одномерной распределенной системы, описываемой дифференциальным уравнением в частных производных параболического вида:

(7)

где – пространственная координата; – время; – выходная переменная; – коэффициенты; – внешнее воздействие.

Вычислительные процедуры, реализованные в пакете, основаны на спектральной теории, применимой для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Метод основывается на представлении решения в виде разложения в ряд Фурье по системе ортогональных функций и конечномерной аппроксимации. В качестве системы базисных функций взята основная тригонометрическая система [2].

 

4. Установка пакета

Пакет устанавливается на персональном компьютере модели не ниже РС-386 и может запускаться как с гибкого, так и жесткого диска. Для запуска программы с гибкого диска вставьте дискету, на которой находится пакет, в дисковод для гибких дисков, войдите в каталог «SPEKTR» и запустите программу «tvdi3.exe» на выполнение. Для запуска пакета с жесткого диска создайте на нем каталог «C: \SPEKTR», скопируйте в него с дискеты следующие файлы: «tvdi3.exe» – исполняемая программа; «tvdi3.ovr2»– оверлейный модуль; «egavga.bgi» – модуль графического интерфейса. Для работы с пакетом запустите файл «C: \SPEKTR\ tvdi3.exe» на выполнение.

 

 

5. Работа с пакетом

При входе в программу на первом экране выводится информация о назначении пакета и классе решаемых задач (1). Работа с пакетом проводится в диалоговом режиме, что позволяет пользователю в раскрываемые окна вводить необходимые параметры и коэффициенты и наблюдать результаты вычислений. Работа с пакетом осуществляется в следующем порядке:

1. Ввод коэффициентов дифференциального уравнения.

2. Ввод внешнего воздействия.

3. Ввод начального условия.

4. Ввод граничных условий.

5. Ввод параметров процесса.

6. Вычисление.

7. Просмотр результатов вычислений.

8. Вывод результатов вычислений на принтер.

В пакете реализована система меню, каждый элемент которого выполняет вышеописанные действия. Для входа в меню нажмите клавишу F2 или с помощью «мыши» активизируйте необходимый элемент. Передвижение по меню осуществляется клавишами «влево», «вправо», выбор элемента – нажатием клавиши «Enter».

Для ввода коэффициентов дифференциального уравнения выполните пункт «Задание коэффициентов» меню МОДЕЛЬ. В открывшемся окне (рис. 1) задайте тип коэффициентов уравнения: const, функция f(x).

 

Задание коэффициентов

Рис. 1

 

Перемещение между элементами экрана осуществляется с помощью клавиши «Tab», «Shift+Tab», «мыши». После задания типов коэффициентов для сохранения установок нажмите кнопку «Ok». Для выхода из окна без сохранения изменений нажмите кнопку «Cancel». В следующем окне (рис. 2) введите коэффициенты дифференциального уравнения. По окончании ввода нажмите кнопку «Ok».

 

Ввод коэффициентов

Рис. 2

 

Ниже перечислены доступные символы, вводимые в поля:

0, 1, 2…9 – числа;

pi – 3.14;

. – точка (десятичный разделитель);

sin() – функция синус;

cos() – функция косинус;

sqr() – квадрат функции;

sqrt() – квадратный корень;

exp() – экспонента;

+, -, *, / – знаки арифметических операций.

Пример: .

Для ввода внешнего воздействия выполните пункт «Задание внешнего воздействия» меню МОДЕЛЬ. В открывшемся окне (рис. 3) задайте тип и выражение внешнего воздействия . В случае, если тип внешнего воздействия – источник в точке , введите координату точки . По окончании ввода нажмите кнопку «Ok».

 

Задание внешнего воздействия

Рис. 3

 

Для ввода начального условия выполните пункт «Задания начального условия» меню МОДЕЛЬ. В диалоговом окне (рис. 4) введите функцию начального условия . По окончании ввода нажмите кнопку «Ok».

Задание начального условия

Рис. 4

 

Для ввода граничных условий выполните пункт «Задание граничных условий» меню МОДЕЛЬ. В открывшемся окне (рис. 5) выберите тип граничных условий для . По окончании ввода нажмите кнопку «Ok».

Задание граничных условий

Рис. 5

В следующем окне введите параметры граничного условия для левой границы . В случае граничного условия I-го рода (рис. 6) введите вид функции и само выражение.

 

Граничное условие первого рода при

Рис. 6

 

Для граничного условия II-го рода (рис. 7) введите вид функции qc(t), само выражение и коэффициент теплопроводности λ.

 

Граничное условие второго рода при

Рис. 7

 

Для граничного условия III-го рода (рис. 8) введите вид функции, саму функцию температуры среды , а также коэффициенты теплопроводности λ и теплообмена α. По окончании ввода нажмите кнопку «Ok». Аналогично задайте параметры граничного условия при .

 

Граничное условие третьего рода при

Рис. 8

 

Для задания параметров процесса выполните пункт главного меню ПАРАМЕТРЫ. В открывшемся диалоговом окне (рис. 9) введите время процесса – Тпр. и количество точек вывода во времени t (max=10). По окончании ввода нажмите кнопку «Ok». Ввод данных для описания модели распределенной модели завершен.

 

Задание параметров процесса

Рис. 9

 

Для построения решения дифференциального уравнения выполните пункт главного меню ВЫЧИСЛЕНИЕ. Индикатор отображает ход процесса вычислений, по окончании которого появится соответствующее сообщение.

Для вывода результатов вычислений на экран в табличном виде выполните пункт «Данные» меню РЕЗУЛЬТАТЫ.

Для вывода результатов вычислений на экран в графическом виде выполните пункт «Графики» меню РЕЗУЛЬТАТЫ. В открывшемся диалоговом окне (рис. 10) задайте параметры графиков: цвета и толщину линий графиков и фона. В поля Макс. и Мин. значения на графике (для отображения всех результатов) введите значения из табличных данных, полученных в результате вычислений.

 

Задание параметров графиков

Рис. 10

 

По окончании ввода нажмите кнопку «Ok». На экран выводятся графики граничных условий, начального условия, а также переходного процесса.

Для вывода результатов вычислений на печать подготовьте принтер и выполните пункты «Данные» меню ПЕЧАТЬ. После появления таблицы результатов на экране нажмите клавишу «Print Screen». По окончании печати для продолжения работы с программой нажмите клавишу «Enter». Для вывода графиков переходного процесса на принтер выполните пункт «Графики» меню ПЕЧАТЬ. Для получения желаемых результатов измените значения параметров модели и повторите пункт главного меню ВЫЧИСЛЕНИЯ. Для выхода из программы нажмите клавиши «Alt»+ «X».

 

6. Таблица числовых данных к вариантам

Номер варианта	а	u(x)	φ (x)
	0.01	sin(π ·x)	sin(9·π ·x)
	0.02	sin(3·π ·x)	sin(7·π ·x)
	0.03	sin(5·π ·x)	sin(5·π ·x)
	0.04	sin(7·π ·x)	sin(3·π ·x)
	0.05	sin(9·π ·x)	sin(π ·x)
	0.06	sin(7·π ·x)	sin(π ·x)
	0.07	sin(5·π ·x)	sin(3·π ·x)
	0.08	sin(3·π ·x)	sin(5·π ·x)
	0.09	sin(π ·x)	sin(7·π ·x)
	0.1	sin(2·π ·x)	sin(4·π ·x)

 

7. Литература

1. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1985. глава 3 (§2).

2. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем / В.А. Коваль. – Саратов: СГТУ, 1997. – 192 с.

Лабораторная работа № 2

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: